Un mathématicien de l'Université RUDN a proposé un nouveau schéma pour résoudre numériquement des équations avec des puissances fractionnaires d'opérateurs elliptiques. Le nouveau système fonctionne plus rapidement que les systèmes existants, car il prend en compte les propriétés des solutions de telles équations en des points singuliers. Les résultats pourraient être utiles pour calculer les processus de diffusion, par exemple, fuite de fluide dans un milieu poreux, transfert de nutriments à travers une paroi cellulaire, et des ruptures de matériaux élastiques. L'étude a été publiée dans Informatique et mathématiques avec applications .

L'équation de diffusion classique est une équation aux dérivées partielles. Il décrit le processus de distribution d'une substance dans un certain environnement. La solution de l'équation est fonction du temps t et du point x, qui montre la concentration u (t, x) de la substance au point x à l'instant t. Si le milieu est homogène, alors l'équation de diffusion contient la dérivée première par rapport à t de u et la somme des dérivées secondes de u par rapport aux coordonnées. La somme est appelée opérateur de Laplace, et est utilisé dans divers domaines des mathématiques et de la physique, y compris la théorie des fonctions complexes et l'équation de Schrödinger.

Mathématicien Petr Vabishchevich, un employé du Centre Scientifique des Méthodes Computationnelles en Mathématiques Appliquées de l'Université RUDN, et son collègue Raimondas Ciegis, Professeur de mathématiques à l'Université technique de Vilnius Gediminas, Vilnius, Lituanie, considéré comme une variante de l'équation de diffusion fractionnaire dans laquelle l'opérateur de Laplace est pris à un degré fractionnaire. Le degré est déterminé par la formule, ce qui est pratique d'un point de vue théorique, mais totalement impropre aux calculs. En attendant, les calculs pratiques liés aux solutions sont une tâche importante pour les applications.

S'il est difficile de résoudre une équation sous sa forme générale, les mathématiciens utilisent des méthodes numériques. Il y en a plusieurs qui sont traditionnellement utilisés pour l'équation de diffusion fractionnaire. Par exemple, l'un d'eux suppose que la solution se réduit aux solutions séquentielles à plusieurs systèmes dits locaux. Ces systèmes ont la propriété d'ellipticité, C'est, de telles équations ressemblent à des équations de diffusion sans degré fractionnaire. De tels systèmes sont bien résolus numériquement. Cependant, lorsque la solution approximative du problème d'origine dans son ensemble doit être « assemblée » à partir des solutions obtenues, les pièces ne "s'emboîtent" pas toujours bien - la solution obtenue se rapproche parfois de la solution du problème d'origine avec précision, et parfois c'est très différent.

Petr Vabishchevich et son collègue ont choisi une autre voie, réduire la solution de l'équation de diffusion fractionnaire à plusieurs systèmes locaux. Les systèmes résultants ne possédaient pas la propriété d'ellipticité et étaient encore pires, dans un sens. De plus, le système comprenait des fonctions avec des discontinuités, ce qui signifie généralement une faible solvabilité pour les problèmes numériques. Mais dans ce cas particulier, il s'est avéré que le bon choix du pas de temps pour le calcul, avec un bon choix du système lui-même, permet d'obtenir une solution numérique qui se rapproche assez précisément de la solution du problème d'origine.

De plus, il apparaît que la méthode proposée par les mathématiciens de l'Université RUDN fonctionne souvent plus rapidement que ses homologues. En effet, la transition vers une solution approchée se produit à la dernière étape du nouveau schéma. Dans d'autres méthodes, le rapprochement se fait en plusieurs étapes, ce qui conduit à l'accumulation d'erreurs de calcul. Cela ne se produit pas avec la nouvelle méthode.

Les équations de diffusion fractionnaire décrivent la diffusion dite anormale, par exemple., la distribution d'un liquide dans un milieu poreux avec des discontinuités. En outre, la diffusion fractionnée décrit le transfert de nutriments dans une cellule et dans les tissus en général. Ces équations sous forme générale ne sont pas résolubles, donc, les scientifiques utilisent des approximations numériques, C'est, solutions approximatives. La nouvelle méthode des mathématiciens de l'Université RUDN permettra d'effectuer des calculs plus rapidement dans de nombreux cas.