Des mathématiciens de l'Université RUDN et de l'Institut de sûreté nucléaire du RAS (NSI RAS) ont proposé une méthode numérique de résolution d'équations décrivant la propagation de la lumière dans un milieu. Ils ont utilisé l'équation eikonale non linéaire avec des conditions aux limites comme base. Un tel problème ne peut pas être résolu directement, alors les mathématiciens ont développé une méthode numérique, effectuer des calculs, et a produit une image du "comportement" de telles solutions. Les résultats pourraient devenir la base d'une théorie complète des solutions approximatives de telles équations différentielles. Le procédé peut être appliqué à la production de lentilles et de cristaux optiques. L'article a été publié dans le Journal de mathématiques computationnelles et appliquées .

L'équation eikonale est une équation différentielle partielle non linéaire. Il décrit la propagation de la lumière dans un milieu et est nécessaire pour résoudre des problèmes en optique. Il permet de connecter des optiques planaires, enseigné dans les écoles, et optique ondulatoire, qui est décrit par des équations complexes.

Il est traditionnel d'utiliser une méthode basée sur la résolution d'un grand système d'équations non linéaires pour trouver une solution numérique (c'est-à-dire, pour obtenir une solution approchée suffisamment précise) pour l'équation eikonale.

Les mathématiciens de l'Université RUDN et du NSI RAS ont utilisé une approche différente, ce qui permet de trouver plus facilement une solution à l'équation eikonale non linéaire à l'aide d'une méthode numérique :un changement de variables avec l'ajout d'un paramètre. Le changement entraîne de nouvelles équations, lequel, d'un côté, sont plus simples que les premières :le problème devient linéaire. D'autre part, leurs solutions ne sont pas les solutions du système original. Cependant, à mesure que le paramètre diminue, les solutions du nouveau système se rapprochent des solutions de l'original.

Les mathématiciens ont progressivement (d'une certaine valeur fixe) diminué la valeur du paramètre ajouté et pour chacune de ces valeurs ont résolu l'équation numériquement. Pour chaque valeur de paramètre suivante, la solution résultante a été comparée aux précédentes. Au fur et à mesure que le paramètre diminuait, les solutions changeaient de moins en moins, C'est, le résultat des calculs s'est stabilisé. Il s'est avéré qu'une solution suffisamment stable nécessite une valeur de paramètre relativement faible. La solution résultante a été prise comme une approximation de l'équation d'origine.

Les mathématiciens ont démontré qu'une telle méthode donne d'assez bons résultats sur des problèmes modèles représentatifs.

« La complexité computationnelle – les « coûts computationnels » de l'approche dont nous parlons – ne dépasse pas celle des autres approches. Bien que, nous résolvons un problème de valeur limite linéaire, et cela, bien sûr, est moins laborieux que de résoudre un problème non linéaire, " a expliqué Petr Vabishevich, l'auteur de l'étude et membre du Centre de recherche pour les méthodes informatiques en mathématiques appliquées de l'Université RUDN.

Vabishevich et ses co-auteurs ont modélisé l'équation pour les milieux anisotropes. Du point de vue de la physique, il s'agit d'un environnement dans lequel les propriétés physiques de propagation de la lumière dans différentes directions ne sont pas les mêmes. Les matériaux possédant ces propriétés sont maintenant largement utilisés dans les dispositifs optiques.

Outre l'optique, l'équation eikonale est également utilisée pour résoudre numériquement des équations décrivant le mouvement d'un fluide. Une telle modélisation est nécessaire pour créer des images réalistes en infographie, par exemple, dans le film "Pirates des Caraïbes", l'eau n'était pas seulement puisée mais calculée au niveau physique. La vitesse de calcul, qui pourrait potentiellement être améliorée par la méthode développée par les mathématiciens de l'Université RUDN et du NSI RAS, joue un rôle clé dans de tels cas.