Respirer. Au fur et à mesure que vos poumons se dilatent, l'air remplit 500 millions de minuscules alvéoles, chacun une fraction de millimètre de diamètre. En expirant, ces millions de minuscules respirations fusionnent sans effort à travers des voies respiratoires de plus en plus larges en une respiration ultime.

Ces voies respiratoires sont fractales.

Les fractales sont un outil mathématique pour décrire des objets avec des détails à toutes les échelles. Les mathématiciens et les physiciens comme moi utilisent des fractales et des concepts connexes pour comprendre comment les choses changent de petit à grand.

Vous et moi traduisons entre des échelles très différentes lorsque nous pensons à la façon dont nos choix affectent le monde. Ce latte contribue-t-il au changement climatique ? Dois-je voter à cette élection?

Ces outils conceptuels s'appliquent aussi bien au corps qu'aux paysages, catastrophes naturelles et société.

Des fractales partout

En 1967, le mathématicien Benoit Mandelbrot a demandé, « Quelle est la longueur de la côte de la Grande-Bretagne ?

C'est une question piège. La réponse dépend de la façon dont vous la mesurez. Si vous tracez le contour sur une carte, vous obtenez une réponse, mais si vous marchez le long de la côte avec un mètre, le résultat est tout autre. Quiconque a essayé d'estimer la longueur d'un sentier de randonnée accidenté à partir d'une carte connaît la trahison de l'image à grande échelle.

C'est parce que les poumons, le littoral britannique et les sentiers de randonnée ont tous une fractalité :leur longueur, nombre de branches ou une autre quantité dépend de l'échelle ou de la résolution que vous utilisez pour les mesurer.

Le littoral est également auto-similaire :il est fait de copies plus petites de lui-même. Les frondes de fougère, des arbres, coquilles d'escargots, paysages, les silhouettes des montagnes et des réseaux fluviaux ressemblent toutes à des versions plus petites d'elles-mêmes.

C'est pourquoi, lorsque vous regardez une photographie aérienne d'un paysage, il est souvent difficile de dire si la barre d'échelle doit être à 50 km ou à 500 m.

Vos poumons sont auto-similaires, car le corps calibre finement chaque branche dans des proportions exactes, faisant de chaque branche une réplique plus petite de la précédente. Cette conception modulaire rend les poumons efficaces quelle que soit leur taille. Pensez à un enfant et un adulte, ou une souris, une baleine. La seule différence entre petit et grand réside dans le nombre de fois où les voies respiratoires se ramifient.

L'auto-similarité et la fractalité apparaissent dans l'art et l'architecture, dans les arches à l'intérieur des arches des aqueducs romains et les flèches des cathédrales gothiques qui reflètent la canopée de la forêt. Même les anciens calligraphes chinois Huai Su et Yan Zhenqing appréciaient la fractalité des nuages ​​d'été, des fissures dans un mur et des taches d'eau dans une maison qui fuit en 722.

Invariance d'échelle

Les objets auto-similaires ont une invariance d'échelle. En d'autres termes, certains biens tiennent quelle que soit leur taille, comme l'efficacité des poumons.

En effet, l'invariance d'échelle décrit ce qui change entre les échelles en disant ce qui ne change pas.

Léonard de Vinci a observé que, comme des branches d'arbres, la section transversale totale de toutes les branches est préservée. En d'autres termes, allant du tronc aux brindilles, le nombre de branches et leur diamètre changent à chaque branchement, mais l'épaisseur totale de toutes les branches regroupées reste la même.

L'observation de Da Vinci implique une invariance d'échelle :pour chaque branche d'un certain rayon, il y a quatre branches en aval avec la moitié de ce rayon.

La fréquence des tremblements de terre a une invariance d'échelle similaire, qui a été observé dans les années 40. Les grands me viennent à l'esprit :Lisbonne 1755, San Francisco 1989, mais de nombreux petits tremblements de terre se produisent chaque jour en Californie. La loi de Gutenberg-Richter dit que la fréquence des séismes dépend de la taille du séisme. La réponse est étonnamment simple. Un séisme dix fois plus important se produit environ un dixième plus souvent.

La société et la loi du pouvoir

Un économiste du XIXe siècle, Vilifredo Pareto, célèbre dans les écoles de commerce pour la règle des 80/20, a observé que le nombre de familles possédant une certaine richesse est inversement proportionnel à leur richesse, élevé à un certain exposant. Pareto a mesuré l'exposant pour différentes années et différents pays et a constaté qu'il était généralement d'environ 1,5.

La répartition des richesses de Pareto est connue sous le nom de loi du pouvoir, ostensiblement à cause de l'exposant ou de la « puissance ».

Tout ce qui est auto-similaire a une loi de puissance correspondante. Dans un journal d'avril, mon collègue et moi décrivons la loi de puissance correspondante pour les poumons, vaisseaux sanguins et arbres. Elle ne diffère de la loi de puissance de Pareto que par la prise en compte de rapports spécifiques entre branches.

La taille des fortunes s'apparente alors à la taille des brindilles d'arbre ou des vaisseaux sanguins – quelques troncs ou grosses branches et exponentiellement plus de brindilles minuscules.

Pareto considérait sa répartition des richesses comme une loi naturelle, mais de nombreux modèles différents d'organisation sociale donnent lieu à une distribution de Pareto et les sociétés varient en termes d'inégalité des richesses. L'exposant de Pareto le plus élevé, plus la société est égalitaire.

De la compréhension de la façon dont les humains sont constitués de minuscules cellules à la façon dont nous affectons la planète, auto-similarité, la fractalité et l'invariance d'échelle aident souvent à passer d'un niveau d'organisation à un autre.

Cet article est republié à partir de The Conversation sous une licence Creative Commons. Lire l'article original.