Au cours des derniers jours, le monde des mathématiques a été en effervescence à la nouvelle que Sir Michael Atiyah, le célèbre médaillé Fields et lauréat du prix Abel, prétend avoir résolu l'hypothèse de Riemann.

Si sa preuve s'avère correcte, ce serait l'une des réalisations mathématiques les plus importantes depuis de nombreuses années. En réalité, ce serait l'un des plus grands résultats en mathématiques, comparable à la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 et à la preuve de la conjecture de Poincaré de 2002.

En plus d'être l'un des grands problèmes non résolus en mathématiques et donc de garnir la gloire de celui qui le résout, l'hypothèse de Riemann est l'un des "problèmes à un million de dollars" du Clay Mathematics Institute. Une solution rapporterait certainement un butin assez rentable :un million de dollars.

L'hypothèse de Riemann concerne la distribution des nombres premiers, ces nombres entiers qui ne peuvent être divisés que par eux-mêmes et un, comme 3, 5, 7, 11 et ainsi de suite. Nous savons par les Grecs qu'il existe une infinité de nombres premiers. Ce que nous ne savons pas, c'est comment ils sont distribués dans les nombres entiers.

Le problème est né de l'estimation de la fonction dite « pi premier », une équation pour trouver le nombre de nombres premiers inférieur à un nombre donné. Mais sa reformulation moderne, par le mathématicien allemand Bernhard Riemann en 1858, a à voir avec l'emplacement des zéros de ce qui est maintenant connu sous le nom de fonction zêta de Riemann.

L'énoncé technique de l'hypothèse de Riemann est que « les zéros de la fonction zêta de Riemann qui se trouvent dans la bande critique doivent se trouver sur la ligne critique ». Même comprendre cet énoncé implique des cours de mathématiques de niveau universitaire en analyse complexe.

La plupart des mathématiciens croient que l'hypothèse de Riemann est en effet vraie. Les calculs jusqu'à présent n'ont pas donné de zéros erronés qui ne se situent pas dans la ligne critique. Cependant, il y a une infinité de ces zéros à vérifier, et donc un calcul informatique ne vérifiera pas grand-chose. Seule une preuve abstraite fera l'affaire.

Si, En réalité, l'hypothèse de Riemann n'était pas vraie, alors la réflexion actuelle des mathématiciens sur la distribution des nombres premiers serait loin, et nous aurions besoin de repenser sérieusement les nombres premiers.

L'hypothèse de Riemann a été examinée pendant plus d'un siècle et demi par certains des plus grands noms des mathématiques et n'est pas le genre de problème qu'un étudiant en mathématiques inexpérimenté peut résoudre pendant son temps libre. Les tentatives de vérification impliquent de nombreux outils très approfondis issus d'analyses complexes et sont généralement très sérieuses réalisées par certains des meilleurs noms des mathématiques.

Atiyah a donné une conférence en Allemagne le 25 septembre dans laquelle il a présenté un aperçu de son approche pour vérifier l'hypothèse de Riemann. Cette esquisse est souvent la première annonce de la solution mais il ne faut pas croire que le problème est résolu – loin de là. Pour les mathématiciens comme moi, la preuve est dans le pudding, " et de nombreuses étapes doivent être franchies avant que la communauté ne déclare la solution d'Atiyah correcte. Premièrement, il devra faire circuler un manuscrit détaillant sa solution. Puis, il y a la tâche laborieuse de vérifier sa preuve. Cela peut prendre beaucoup de temps, peut-être des mois voire des années.

La tentative d'Atiyah sur l'hypothèse de Riemann est-elle sérieuse ? Peut-être. Sa réputation est excellente, et il est certainement assez capable pour s'en sortir. D'autre part, il y a eu plusieurs autres tentatives sérieuses pour résoudre ce problème qui n'ont pas abouti. A un moment donné, Atiyah devra faire circuler un manuscrit que les experts pourront vérifier au peigne fin.

Cet article est republié à partir de The Conversation sous une licence Creative Commons. Lire l'article original.