Une image vaut 1, 000 mots, dit le proverbe, mais un groupe de scientifiques basés à Harvard espère que cela pourrait également valoir le même nombre d'équations.

Les lois picturales semblent unifier les idées de disparates, champs de connaissances interdisciplinaires, les reliant magnifiquement comme des éléments d'un tableau de Vinci. Le groupe travaille à élargir le langage mathématique illustré pour la première fois l'année dernière par Arthur Jaffe, le professeur Landon T. Clay de mathématiques et de sciences théoriques, et le boursier postdoctoral Zhengwei Liu.

« Il y a un mot que vous pouvez retenir de ceci :excitation, " dit Jaffe. " Et c'est parce que nous n'essayons pas seulement de résoudre un problème ici ou là, mais nous essayons de développer une nouvelle façon de penser les mathématiques, en développant et en utilisant différents langages mathématiques basés sur des images en deux, Trois, et plus de dimensions."

L'année dernière, ils ont créé un langage 3D appelé quon, qu'ils utilisaient pour comprendre les concepts liés à la théorie de l'information quantique. Maintenant, de nouvelles recherches ont offert des indices alléchants que quon pourrait offrir un aperçu d'une foule d'autres domaines des mathématiques, de l'algèbre à l'analyse de Fourier, ainsi qu'en physique théorique, de la physique statistique à la théorie des cordes. Les chercheurs décrivent leur vision du projet dans un article paru le 2 janvier dans la revue Actes de l'Académie nationale des sciences .

« Il y a eu beaucoup d'évolution dans ce travail au cours de la dernière année, et nous pensons que c'est la pointe de l'iceberg, " a déclaré Jaffe. "Nous avons découvert que les idées que nous avons utilisées pour l'information quantique sont pertinentes pour un spectre beaucoup plus large de sujets. Nous sommes très reconnaissants d'avoir reçu une subvention du Templeton Religion Trust qui nous a permis de réunir une équipe de chercheurs l'été dernier pour poursuivre ce projet plus loin, y compris les étudiants de premier cycle, étudiants diplômés, et post-doctorants, ainsi que des collaborateurs seniors d'autres institutions."

L'équipe de base comprend des mathématiciens éminents tels qu'Adrian Ocneanu, professeur invité cette année à Harvard, Vaughan Jones, et Alina Vdovina. Aussi importantes sont les étoiles montantes venues à Harvard du monde entier, dont Jinsong Wu du Harbin Institute of Technology et William Norledge, un récent diplômé de l'Université de Newcastle. Des étudiants comme Alex Wozniakowski, l'un des membres originaux du projet et maintenant étudiant à l'Université technologique de Nanyang à Singapour, visiter les étudiants diplômés Kaifeng Bu de l'Université du Zhejiang à Hangzhou, Chine, Weichen Gu et Boqing Xue de l'Académie chinoise des sciences de Pékin, Sruthi Narayanan, étudiante diplômée de Harvard, et Chase Bendarz, un premier cycle à l'Université Northwestern et à Harvard.

Alors que les images sont utilisées en mathématiques depuis l'Antiquité, Jaffe et ses collègues pensent que l'approche de l'équipe, qui consiste à appliquer des images aux mathématiques en général et à utiliser des images pour explorer les liens entre les mathématiques et des matières telles que la physique et les sciences cognitives, peut marquer l'émergence d'un nouveau domaine.

Parmi le genre de problèmes que l'équipe a déjà pu résoudre, Liu a dit, est une manière imagée de penser l'analyse de Fourier.

"Nous avons développé ceci, motivé par plusieurs idées d'Ocneanu, " dit-il. " Immédiatement, nous l'avons utilisé pour donner de nouvelles perspectives sur l'information quantique. Mais nous avons également découvert que nous pouvions prouver une identité algébrique élaborée pour les symboles de formule 6j, " un outil standard en théorie des représentations, en physique théorique, et en chimie.

Cette identité avait été trouvée dans un cas élémentaire, mais le mathématicien de Harvard Shamil Shakirov a conjecturé que c'était vrai sous une forme générale. Le groupe a maintenant publié une preuve sur arXiv.org qui est en cours de révision pour publication plus tard dans l'année. Une autre famille très générale d'identités que le groupe a comprise simplement en utilisant la transformée de Fourier géométrique est connue sous le nom de formules de fusion de Verlinde.

"En regardant l'analyse mathématique des images, nous avons également trouvé de nouvelles inégalités vraiment inattendues. Ils généralisent les fameux principes d'incertitude de [Werner] Heisenberg et de [G.H.] Hardy et font partie d'une histoire plus vaste, " dit Liu. " Ainsi, les mathématiques des langages imagés eux-mêmes sont assez intéressantes à comprendre. Nous voyons ensuite leurs implications sur d'autres sujets."

"Je suis très pris par ce projet, car avant cela, Je travaillais sur l'information quantique, mais la seule façon que je connaissais pour le faire était d'utiliser l'algèbre linéaire, " dit Bu. " Mais en travaillant avec Arthur et Zhengwei, nous avons pu utiliser ce langage pictural pour dériver de nouvelles idées et outils géométriques que nous pouvons utiliser pour développer de nouveaux protocoles quantiques. Ils ont déjà été utiles, et nous prévoyons que ces idées pourraient avoir de nombreuses applications à l'avenir.

"C'est incroyable, Je pense, que nous pouvons utiliser un langage pictural simple pour décrire des équations algébriques très compliquées, " Bu poursuivi. " Je pense que ce n'est pas seulement une nouvelle approche, mais un nouveau domaine pour les mathématiques."

Ocneanu intervint, "En fin de compte, ce que fait le langage d'images de dimension supérieure, c'est de traduire la structure de l'espace en mathématiques d'une manière naturelle."

Alors que traditionnelle, l'algèbre linéaire aplatit les concepts 3D en une seule ligne d'équations, il a dit, le langage de l'image permet aux scientifiques d'utiliser des espaces en 3D et de dimensions supérieures pour traduire le monde qui les entoure.

"Espacer, ou plus généralement l'espace-temps, est une sorte de machine informatique, " a déclaré Ocneanu. " Nous devrions vraiment traduire ce que fait l'espace dans le genre de choses que les mathématiciens utilisent, ainsi nous pouvons lire la structure de l'espace."

Pour Norledge, le nouveau langage mathématique est frappant dans la manière dont il passe d'une poignée de concepts relativement simples à une théorie complexe.

« J'ai une formation en théorie des représentations ; ma thèse porte sur ce domaine des mathématiques appelé théorie géométrique des groupes, " a-t-il dit. " Donc, avec un fond d'utilisation d'images et d'objets géométriques, cela aide à appliquer les mathématiques de cette façon. Nous essayons toujours de comprendre cela, mais si tout cela passe et réussit, vous avez un très beau domaine des mathématiques où vous commencez avec quelques axiomes, et juste à partir de ce début, vous pouvez généraliser cette théorie hautement non triviale avec cette belle structure."

« Nous espérons que l'on pourra éventuellement mettre en œuvre les idées que nous étudions dans de nouveaux modèles théoriques et physiques, ainsi que dans certains termes pratiques, " dit Jaffe. " Pour partager notre enthousiasme, jetez un œil à notre site Web."