Dans le calcul multivarié, une dérivée partielle mesure la façon dont une fonction change lorsqu'une seule de ses variables varie, tandis que les autres restent fixes. Les partiels mixtes (dérivés pris par rapport à différentes variables) sont particulièrement utiles pour comprendre la courbure et l'optimisation.

Étape 1 : Différencier par rapport à x

Prenez la dérivée de f(x, y) = 3x²y – 2xy par rapport à x , traitant y comme constante :

∂f/∂x = 6xy – 2y

Étape 2 : Différencier le résultat par rapport à y

Maintenant différenciez ∂f/∂x = 6xy – 2y par rapport à y , traitant x comme constante :

∂²f/(∂y∂x) = 6x – 2

Étape 3 :Vérifier la symétrie des partiels mixtes

Calculer ∂²f/(∂x∂y) en différenciant ∂f/∂y = 3x² – 2x par rapport à x :

∂²f/(∂x∂y) = 6x – 2

Depuis ∂²f/(∂y∂x) = ∂²f/(∂x∂y) , les partiels mixtes sont égaux, confirmant le théorème de Clairaut pour cette fonction lisse.

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