Une des opérations importantes que vous faites dans le calcul est de trouver des dérivés. La dérivée d'une fonction est aussi appelée le taux de changement de cette fonction. Par exemple, si x (t) est la position d'une voiture à tout instant t, alors la dérivée de x, qui est écrite dx /dt, est la vitesse de la voiture. De plus, la dérivée peut être visualisée comme la pente d'une ligne tangente au graphique d'une fonction. Au niveau théorique, c'est ainsi que les mathématiciens trouvent des dérivés. En pratique, les mathématiciens utilisent des ensembles de règles de base et de tables de consultation.
Le dérivé comme pente
La pente d'une ligne entre deux points est la montée, ou la différence des valeurs y divisée par le courir, ou la différence de valeurs x. La pente d'une fonction y (x) pour une certaine valeur de x est définie comme la pente d'une droite tangente à la fonction au point [x, y (x)]. Pour calculer la pente, vous construisez une ligne entre le point [x, y (x)] et un point voisin [x + h, y (x + h)], où h est un très petit nombre. Pour cette ligne, l'exécution ou la modification de la valeur x est h, et l'augmentation ou la variation de la valeur y est y (x + h) - y (x). Par conséquent, la pente de y (x) au point [x, y (x)] est approximativement égale à [y (x + h) - y (x)] /[(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] /h. Pour obtenir la pente exactement, vous calculez la valeur de la pente lorsque h devient de plus en plus petit, jusqu'à la "limite" où elle va à zéro. La pente calculée de cette façon est la dérivée de y (x), qui est écrite comme y '(x) ou dy /dx.
Le dérivé d'une fonction de puissance
Vous pouvez utiliser le méthode pente /limite pour calculer les dérivées de fonctions où y est égal à x à la puissance de a, ou y (x) = x ^ a. Par exemple, si y est égal à x cube, y (x) = x ^ 3, alors dy /dx est la limite car h va à zéro de [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] /h. Expansion (x + h) ^ 3 donne [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] /h, ce qui réduit à 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 après que vous divisez par h. Dans la limite où h va à zéro, tous les termes qui ont h dans eux vont également à zéro. Donc, y '(x) = dy /dx = 3x ^ 2. Vous pouvez le faire pour des valeurs d'un autre que 3, et en général, vous pouvez montrer que d /dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Dérivé De Une série Power
De nombreuses fonctions peuvent être écrites comme ce qu'on appelle une série de puissance, qui sont la somme d'un nombre infini de termes, où chacun est de la forme C (n) x ^ n, où x est un variable, n est un nombre entier et C (n) est un nombre spécifique pour chaque valeur de n. Par exemple, la série de puissances pour la fonction sinus est Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., où "..." signifie que les termes continuent à à l'infini. Si vous connaissez la série de puissances pour une fonction, vous pouvez utiliser la dérivée de la puissance x ^ n pour calculer la dérivée de la fonction. Par exemple, la dérivée de Sin (x) est égale à 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., ce qui s'avère être la série de puissances pour Cos (x).
Dérivés des tables
Les dérivées des fonctions de base telles que x ^ a, fonctions exponentielles, fonctions de log et fonctions trigonométriques, sont obtenues à l'aide de la méthode pente /limite, la méthode des séries puissantes ou d'autres méthodes. Ces dérivés sont ensuite répertoriés dans des tableaux. Par exemple, vous pouvez rechercher que la dérivée de Sin (x) est Cos (x). Lorsque des fonctions complexes sont des combinaisons de fonctions de base, vous avez besoin de règles spéciales telles que la règle de chaîne et la règle de produit, qui sont également indiquées dans les tableaux. Par exemple, vous utilisez la règle de chaîne pour trouver que la dérivée de Sin (x ^ 2) est 2xCos (x ^ 2). Vous utilisez la règle du produit pour trouver que la dérivée de xSin (x) est xCos (x) + Sin (x). En utilisant des tables et des règles simples, vous pouvez trouver la dérivée de n'importe quelle fonction. Mais quand une fonction est extrêmement complexe, les scientifiques ont parfois recours à des programmes informatiques pour obtenir de l'aide.
