Des mathématiciens de l'Université RUDN ont étudié les propriétés des opérateurs de composition dans des espaces à normes de Lebesgue mixtes. Leurs travaux permettront de décrire la diffusion des liquides dans les matériaux avec fissures et dans les matériaux poreux. De tels espaces sont également utiles pour obtenir des estimations des solutions de l'équation de Navier-Stokes. L'article a été publié dans Notes mathématiques .

La science moderne des équations aux dérivées partielles a sa propre théorie :le langage de l'analyse fonctionnelle. Les études des espaces fonctionnels dans lesquels des solutions aux équations sont recherchées ont commencé au 19ème siècle et se sont poursuivies jusqu'à nos jours. En premier, les mathématiciens ont appris à appliquer la théorie de Fourier aux solutions des équations aux dérivées partielles linéaires les plus simples, ensuite étudié les espaces de Banach et de Hilbert, ainsi que des espaces de fonctions généralisées, qui est essentiellement le langage de la mécanique quantique.

Vers le milieu du 20e siècle, Des espaces de Sobolev ont été découverts; ceux-ci occupent maintenant une des positions centrales dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Au cours des 50 prochaines années, ils ont aidé les mathématiciens à trouver de nombreuses solutions à des problèmes appliqués qui ne peuvent pas être trouvés dans les espaces fonctionnels ordinaires.

Plus près du début du 21e siècle, il est devenu nécessaire de trouver de nouvelles méthodes pour étudier les équations aux dérivées partielles non linéaires, c'est ainsi que les mathématiques computationnelles et la théorie des systèmes intégrables ont été développées. Cependant, les méthodes de ces domaines se sont avérées trop étroites, et le besoin de développer la langue est toujours là.

Les espaces Lebesgue aux normes mixtes sont parfois des objets plus universels et flexibles. Ces espaces sont déterminés comme suit :Dans l'espace des fonctions à plusieurs variables, définir la norme en itérant la norme de Lebesgue. Ils sont d'abord apparus comme l'une des généralisations des espaces de Sobolev et ont déjà suscité beaucoup d'intérêt de la part de théoriciens de plusieurs pays d'Europe, ainsi que la Chine, Canada et Russie.

Nikita Evseev et Alexander Menovshchikov de l'Institut mathématique de l'Université RUDN travaillent sur une théorie des opérateurs pour de tels espaces, ce qui permet leur utilisation dans des problèmes appliqués formulés dans le langage des équations aux dérivées partielles. Ils ont produit un certain nombre de nouveaux résultats décrivant les propriétés des opérateurs sur de tels espaces :critères de bornage des opérateurs, propriétés des opérateurs intégraux, opérateurs de multiplication, opérateurs de composition, et plein d'autres. Ils ont également obtenu quelques résultats auxiliaires utiles pour le développement ultérieur de ce domaine.

« Nos méthodes et nos résultats, nous croyons, peut être appliqué aux problèmes évolutifs et aux problèmes différentiels sur les régions non cylindriques. Par exemple, en biologie (mathématique), où la surface ou la zone étudiée change avec le temps, ou en hydrodynamique, pour les problèmes à frontière variable, " dit Evseev.

Les recherches dans ce domaine sont utiles pour étudier les équations de Navier-Stokes, un système d'équations décrivant l'aéro et l'hydrodynamique. Les espaces de Lebesgue à normes mixtes permettent d'évaluer des solutions, lequel, à son tour, permet de prédire une absence de turbulence, par exemple.

Les résultats permettront également d'étudier les problèmes appliqués de la physique mathématique qui se posent dans l'étude des matériaux poreux et des matériaux avec des fissures. Par exemple, il sera possible de prédire théoriquement le schéma de diffusion et de transfert de chaleur dans les gels de silice, verres poreux, diverses éponges, et mousses, ainsi que dans certains matériaux de construction.