Le mathématicien de Johns Hopkins Joel Spruck et un collègue ont récemment réussi à prouver une conjecture de longue date sur l'aire des espaces à courbe négative, comme des pétales de fleurs ou des récifs coralliens, un effort de plusieurs années plein d'obstacles inattendus et de nuits blanches.

Vers 900 av. la princesse phénicienne Didon, renversée par son impitoyable frère, s'enfuit en Afrique pour acheter des terres pour elle-même et ses partisans. Comme dit dans Virgile Énéide , Le roi Jarbas lui offrit autant de terres qu'elle pouvait enfermer avec une peau de bœuf.

Clever Dido a coupé la peau en lanières extrêmement fines. En les mettant bout à bout, et en utilisant la mer Méditerranée comme un bord, elle a formé un cercle aussi grand que sa corde pouvait le permettre - et assez grand pour la fondation de ce qui allait devenir la ville de Carthage.

"Le problème de la reine Didon, comme on le sait, est au début de nombreux sujets, " note Joel Spruck, mathématicien de Johns Hopkins. Dans l'une des piles de livres et de papiers qui recouvrent son bureau à Krieger Hall, le tout recouvert d'une fine brume de poussière de craie, il va chercher un livre - en partie théorie mathématique, partie d'un tome d'art intitulé L'univers parcimonieux, qui couvre des sujets tels que la forme et la forme, sciences anciennes, et le concept de conception optimale. En ouvrant le livre à une illustration du territoire de Didon, il explique que le problème est lié à une foule d'énigmes mathématiques préférées, allant de l'endroit où les coquillages prennent leur forme à la façon dont les plantes poussent à pourquoi les bulles de savon se forment comme elles le font.

"Il y a beaucoup de formes possibles, et la nature choisit celui qui consomme le moins d'énergie, " dit Spruck. Il s'ensuit que la forme qui entoure une zone donnée avec le plus petit périmètre possible est le cercle - ou, s'aventurer dans les trois dimensions, la sphère.

Assez simple. Mais les choses se compliquent lorsqu'on veut généraliser cette idée au-delà des cercles et des sphères à des situations plus compliquées. Récemment, Spruck et un collègue ont relevé ce défi et ont réussi à prouver une conjecture de longue date selon laquelle le même principe serait vrai pour d'autres géométries. La preuve est une étape importante pour le domaine de la physique mathématique – qui remonte au 17e ou au 18e siècle – car c'est une question qui se connecte à de nombreux autres problèmes.

"C'est au cœur d'une grande partie des mathématiques du 20e siècle, pas seulement dans ce domaine mais dans des domaines connexes, " dit Spruck, le J.J. Sylvester Professeur au Département de mathématiques de la Krieger School of Arts and Sciences de l'université.

C'est aussi la dernière entrée d'une succession de preuves pour la conjecture de Cartan-Hadamard, nommé d'après les mathématiciens du début du XXe siècle qui ont posé l'idée pour la première fois. En 1926, la conjecture a été prouvée pour deux dimensions. En 1984, il a été prouvé pour quatre dimensions, et pour trois en 1992. "Ensuite, nous avons fait toutes les autres dimensions, " dit Spruck. Quelques instants après s'être assis pour expliquer, Spruck bondit en arrière - un bâton de craie apparaît soudainement dans sa main - et commence à couvrir le tableau de son bureau d'équations et de formes courbes. Le défi, il explique, était que même si la conjecture était relativement simple - si vous êtes doué en mathématiques - dans ce qu'on appelle l'espace euclidien, les choses se sont compliquées, dire, espace courbé négativement.

Espace courbé négativement, Spruck continue patiemment, est comme une surface de selle au lieu d'une sphère. Il comprend plus de surface dans moins d'espace. Pensez aux pétales de fleurs ou aux récifs coralliens. L'univers pourrait avoir une courbe négative, nous n'en sommes pas sûrs.

Les espaces à courbes négatives sans frontières sont appelés variétés de Cartan-Hadamard, et c'est là que Spruck et son collègue ont prouvé la conjecture dans toutes les dimensions. Ils ont annoncé leur preuve avec un post sur ArXiv (prononcé "archive"), un en ligne, plate-forme en libre accès où se déroulent les mathématiques les plus modernes. De nombreux mathématiciens consultent le site quotidiennement pour se tenir au courant des dernières techniques.

La preuve a rempli quelque 80 pages de texte et de figures. "C'était dur parce qu'il fallait tout inventer; les techniques et tout, ils n'existaient pas, " dit Spruck. Il était curieux du problème depuis longtemps, et invité un ancien élève, Mohamed Ghomi, pour l'aborder avec lui. Ghomy, un spécialiste de la géométrie classique qui a obtenu son doctorat. de Hopkins en 1998, est professeur à la Georgia Tech's School of Mathematics. Leur histoire s'est avérée être une histoire de sauvetage mathématiquement dramatique d'une mort imminente.

Spruck a eu une idée, mais il pensait que c'était extrêmement risqué et peut-être « insensé ». "Les maths, c'est rendre votre idée concrète :prendre l'intuition et la transformer en quelque chose de très rigoureux, " Dit Spruck. « Alors nous essaierions de rédiger des mais il y avait des problèmes techniques contradictoires."

Comme un an et demi passa, les deux franchissent obstacle après obstacle. Ils ont communiqué par courrier électronique - plusieurs milliers d'entre eux - alors que Spruck passait des nuits blanches sur son canapé avec un bloc de papier. Parvenir à une heureuse conclusion était loin d'être acquis. À une pierre d'achoppement majeure constituée de choses appelées "level sets" et "flocons de neige ramifiés, " ils ont finalement prévalu sur la force d'un théorème d'une branche complètement différente des mathématiques.

"C'était assez difficile émotionnellement, ", dit Spruck. "Nous sommes morts mille fois, puis nous avons vécu. Vous avez le sentiment que les dieux vous ont sauvé d'une manière ou d'une autre."

Ce processus d'idée-conjecture-idée-preuve reflète le déroulement typique des progrès en mathématiques. Les gens ont des idées sur un certain problème, et bien qu'il n'y ait pas assez de preuves pour le prouver, ils formulent ce qu'ils croient être vrai. Ils le partagent et obtiennent un retour immédiat d'une grande communauté d'autres mathématiciens qui se défient et affinent l'idée. "C'est pourquoi les choses évoluent si vite en mathématiques par rapport à d'autres domaines, " fait remarquer Spruck.

Puis, que ce soit des semaines ou des décennies plus tard, quelqu'un d'autre prouve la conjecture, qui devient alors un théorème. La communauté s'appuie également sur ce nouveau corpus de connaissances, l'appliquer à leurs propres spécialités. Les noms des conjecturateurs et des prouveurs restent en permanence attachés à leurs découvertes.

Sera-ce ce dont on se souviendra de Spruck et Ghomi dans 100 ans ? "Cela pourrait devenir la chose. Je suis vraiment content de ça, " Spruck le permet.

Pour toute sa concrétude une fois qu'il atteint le stade d'une preuve, le processus des mathématiques reste remarquablement mystérieux. Spruck dit qu'il commence généralement par une certaine intuition sur un problème. Il commence à griffonner pour se concentrer, puis les idées commencent progressivement à faire surface sur lesquelles son subconscient a travaillé, et puis il doit trouver comment les rendre tangibles. « Les élèves ont de terribles difficultés avec cette partie : « Qu'est-ce que j'écris ? » », dit Spruck.

Pour Spruck, faire des mathématiques est similaire à la peinture - il expérimente les deux comme une forme de méditation. Deux de ses propres toiles ornent son bureau.

"Vous entrez dans un certain espace, " dit-il. " Quand vous pensez vraiment aux choses, c'est comme être dans un état méditatif. Des heures et des heures passent et vous ne vous en rendez même pas compte.

"Tu prends une toile vierge, vous avez certaines règles fondamentales, mais tout est ouvert. Et l'autre chose qui ressemble à la peinture, ou quoi que ce soit d'autre, c'est aimer les défis. Ce n'est pas si vous réussissez dans l'instant; c'est aimer le processus de s'y perdre."