Les modèles apparaissent largement dans la nature et les mathématiques, des spirales de Fibonacci des coquillages à la périodicité des cristaux. Mais certains problèmes mathématiques peuvent parfois amener le résolveur humain à voir un modèle, mais alors, hors du bleu, le motif disparaît soudainement. Ces modèles illusoires surgissent dans de nombreux domaines des mathématiques, avec un exemple provenant de certaines intégrales de calcul qui ont trompé l'intuition même des meilleurs mathématiciens.

Maintenant dans une nouvelle étude, deux physiciens ont approché ces intégrales en utilisant le concept physique de marche aléatoire. Alors que la résolution de ces intégrales demande généralement beaucoup d'efforts et d'ingéniosité, les physiciens ont montré que la nouvelle approche peut trouver des solutions intuitivement et parfois même sans avoir besoin de calculs explicites.

Les physiciens Satya N. Majumdar et Emmanuel Trizac à l'Université Paris-Sud, CNRS, en France, ont publié un article sur l'utilisation de marcheurs aléatoires pour résoudre des intégrales dans un récent numéro de Lettres d'examen physique.

"Nous avons montré que la connaissance de la physique nous permet d'obtenir sans calcul une multitude d'intégrales curieuses, et en plus, pour obtenir des identités inconnues auparavant (soit des intégrales, ou égalités entre sommes discrètes et intégrales), " a dit Trizac Phys.org . "Notre travail révèle que lorsque l'intuition mathématique est trompée, l'intuition physique peut sauver la situation."

Patrons dans les intégrales de Borwein

Les intégrales en question (voir figure) sont des « intégrales de Borwein, " du nom de David et Jonathan Borwein (père et fils), qui a remarqué des modèles inhabituels en 2001. Les intégrales de Borwein impliquent le produit de fonctions sinc (sinus cardinal), qui ont des applications répandues, comme en optique, traitement de signal, et d'autres domaines. Ces deux intégrales particulières peuvent être utilisées pour calculer les volumes des hypercubes.

La résolution des intégrales de Borwein consiste à substituer des nombres à la variable m . Chaque nombre donne une valeur de solution différente, permettant aux mathématiciens d'observer des modèles dans la séquence de valeurs résultante. Par exemple, pour la première intégrale (je m ), quand tu remplaces les nombres m =1-7, vous obtenez la réponse à chaque fois. Mais quand tu arrives à m =8, la réponse est toujours légèrement inférieure à π (environ π – 10 ^-dix ). La première fois que les mathématiciens ont calculé cette valeur sur un ordinateur, ils pensaient qu'il devait y avoir un bogue dans le logiciel. Mais la réponse a été confirmée, et les termes suivants (pour m =9, dix, etc.) de plus en plus petit.

Certains modèles persistent encore plus longtemps. Pour la seconde intégrale, J m , les 56 premiers termes de la suite (obtenus en substituant les nombres 1 à 56 pour m ) sont tous π/2. Mais le 57 ^e terme est d'environ π/2—10 ^-110 , et les termes suivants continuent de diminuer. (Les choses peuvent devenir encore plus extrêmes :pour une variante des intégrales de Borwein - non discutée ici - un modèle à valeur constante est valable pour un nombre étonnant de 10 premiers ¹⁷⁶ termes de la séquence, après quoi le motif se brise enfin.)

Les mathématiciens peuvent expliquer pourquoi ces modèles se brisent soudainement, du moins en termes mathématiques. Notez que les deux intégrales de Borwein ci-dessus contiennent la fonction sinc(a m k), où un m =1/(2n—1). Si vous remplacez dans les nombres 1, 2, 3, … pour m dans cette expression, vous obtenez la séquence 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9, ... . Les Borwein remarquèrent que le premier mandat, 1, n'est pas seulement plus grand que tous les autres termes qui suivent, mais c'est encore plus grand que la somme des prochains termes - du deuxième au septième termes, pour être exact, comme 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + 1/11 + 1/13 =0,955… , qui est inférieur à 1. Mais en ajoutant le huitième terme, 1/15, à cette somme, la réponse est 1.02…, donc juste au-dessus de 1. Il s'avère que ce n'est pas un hasard si le septième terme est le dernier terme pour lequel l'intégrale s'évalue à π, et le huitième terme est le point auquel le modèle se brise.

Les Borwein ont prouvé un théorème (voir figure) qui énonce cette idée en termes plus généraux. Le théorème est valable pour la seconde intégrale, J m , également. Comptabilisation de la fonction cosinus dans J m change l'expression ci-dessus en 2/(2n-1), en raison de la propriété cos(a)sinc(a) =sinc(2a), de sorte que le premier terme est 2 au lieu de 1. Comme la somme du second jusqu'à 56 ^e termes de l'expression est inférieur à 2, mais en ajoutant le 57 ^e terme pousse la somme sur 2, le théorème tient.

Marcheurs au hasard

Bien que le théorème aide à expliquer quand les modèles temporaires des intégrales de Borwein se brisent, il n'est pas encore tout à fait clair pourquoi le théorème tient en premier lieu.

Dans le nouveau journal, Majumdar et Trizac ont proposé une intuition physique dans le théorème en le reliant à certains concepts bien compris de la théorie des probabilités et de la mécanique statistique. Ils ont remarqué que l'intégrale du théorème a des liens étroits avec la distribution de probabilité uniforme, qui est largement utilisé dans toute la science. Spécifiquement, la transformée de Fourier de la distribution de probabilité uniforme se trouve être juste la fonction sinus, ce qui donne l'intégrale de Borwein pour m =1. Cette connexion relie les intégrales de Borwein au monde physique, de sorte qu'en utilisant des paramètres pertinents, les événements qui suivent une distribution uniforme peuvent être utilisés pour modéliser la séquence de solutions aux intégrales de Borwein.

Pour décrire cette connexion dans un contexte plus physique, les chercheurs ont examiné des marcheurs au hasard. Un marcheur aléatoire est un objet abstrait qui peut se déplacer d'une certaine distance dans n'importe quelle direction, où la distance exacte est choisie au hasard dans un intervalle continu de valeurs, et chacune de ces valeurs est également susceptible d'être choisie (c'est-à-dire, il suit une distribution uniforme). Les marcheurs aléatoires peuvent modéliser avec précision une variété de phénomènes aléatoires, comme les cours boursiers, les chemins des animaux en quête de nourriture, et les chemins des molécules dans un gaz, qui se produisent dans un, deux, ou trois dimensions, respectivement.

Dans le nouveau journal, the physicists show that the movements of infinitely many random walkers can be used to model the emergence and disappearance of the patterns in the Borwein integrals. To begin, the random walkers all start at the point zero on the one-dimensional number line. For the first step, each walker is allowed to move a random distance of up to 1 unit, either left or right. For the second step, each walker may move a random distance of up to 1/3, then a random distance of up to 1/5, then 1/7, 1/9, etc. That is, each successive allowable step distance corresponds to the next value of the expression 1/(2n—1).

The main question is, what is the fraction of random walkers at the starting point (the origin) after each time step? It turns out that the fraction (more precisely, the probability density) of walkers at the origin at each time step m corresponds to the solution to the Borwein integral using the same m valeur.

As the physicists explain, for the first seven steps, the probability density that a walker ends up at the origin is always ½, which via the theorem above corresponds to an integral value of π. The key idea is that, up to this time, the density of walkers at the origin is the same as if the entire number line was uniformly populated with walkers. En réalité, as the maximum distance of each step is restricted, only part of the number line is accessible, c'est à dire., the walkers' world is finite.

Cependant, for the first seven steps, the walkers at the origin perceive that their world is infinite, since they do not possess any information about the existence of boundaries that would indicate that the world is finite. This is because none of those walkers that reached the outer boundary of their world (+1 or -1 after the first step) would have been able to make it back to the starting point in less than seven steps, even if taking the maximum size steps allowed and all in the direction toward the starting point. As these walkers had zero probability of showing up at the starting point before the eighth step, they could not affect the fraction of random walkers at the starting point. So for the first seven steps, the density of walkers at the origin is fixed at ½ (it is "protected").

But once those walkers that have reached +1 or -1 return to the origin, the situation changes. After the eighth step, it's possible that some of these walkers return to the starting point. Now these walkers act as "messengers" in the sense that their return to the starting point reveals the existence of a boundary, telling the other walkers at the origin that their world is finite, and therefore influencing the density of walkers at the origin.

Since these messenger walkers made it back to the starting point, it becomes clear that some other boundary-reaching walkers did not make it back, but instead may have kept continuing to move further away. Par conséquent, the probability distribution becomes more spread out, causing the fraction of walkers at the origin to gradually erode from ½ (or π for the integral). It is this erosion that explains why the values of the first Borwein integral decrease ever so slightly for n ≥ 8. A similar argument holds for the second Borwein integral (see video).

By connecting the Borwein integrals to the probabilities of random walkers, the new results offer a completely different approach to solving these integrals than through direct calculation. The physicists showed that the same approach can be applied to many other integrals in addition to the two described here, including extensions to higher dimensions. The researchers expect that the approach has the potential to provide calculation-free solutions to many other integrals that are otherwise very difficult to solve.

"Random walk problems and their infinite ramifications form one of the cornerstones of modern physics with a wide range of applications in physics, chemistry, la biologie, ingénierie, etc., " Trizac said. "Since our derivation of intriguing integrals involves basic concepts from random walk theory, we expect that new identities and integrals, with real-world applications, may be derived using our key idea in the near future."

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