Pour ceux d'entre nous qui ne sont pas enclins aux mathématiques, la notion de nombres imaginaires est un peu déroutant. Qu’est-ce que ça veut dire ? S'agit-il de chiffres inventés ? Sont-ils invisibles comme des amis imaginaires ? Envoyez de l'aide en mathématiques !
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Un nombre imaginaire – en gros, un nombre qui, une fois mis au carré, donne un nombre négatif – a été établi pour la première fois dans les années 1400 et 1500 comme moyen de résoudre certaines équations compliquées.
Bien qu'ils soient initialement considérés comme une sorte d'astuce de salon, au fil des siècles, les nombres imaginaires sont devenus considérés comme un outil permettant de conceptualiser le monde de manière complexe et sont aujourd'hui utiles dans des domaines allant de l'ingénierie électrique à la mécanique quantique. P>
"Nous avons inventé les nombres imaginaires pour les mêmes raisons que celles pour lesquelles nous avons inventé les nombres négatifs", explique Cristopher Moore. Il est physicien au Santa Fe Institute, un institut de recherche indépendant au Nouveau-Mexique, et co-auteur, avec Stephan Mertens, du livre de 2011 « The Nature of Computation ».
"Commencez par l'arithmétique ordinaire", poursuit Moore. "Combien font deux moins sept ? Si vous n'avez jamais entendu parler de nombres négatifs, cela n'a aucun sens. Il n'y a pas de réponse. Vous ne pouvez pas avoir moins cinq pommes, n'est-ce pas ? Mais pensez-y de cette façon. Vous pourriez me devoir cinq pommes, ou cinq dollars. Une fois que les gens ont commencé à faire de la comptabilité et de la tenue de livres, nous avions besoin de ce concept."
De la même manière, nous connaissons tous aujourd'hui l'idée selon laquelle si nous faisons de gros chèques pour payer des choses mais que nous n'avons pas assez d'argent pour les couvrir, nous pourrions avoir un solde négatif sur nos comptes bancaires.
Une autre façon d'examiner les nombres négatifs (et cela nous sera utile plus tard) est de penser à se promener dans un quartier de la ville, explique Moore.
Si vous faites un mauvais virage et dans la direction opposée à celle de votre destination (disons, cinq pâtés de maisons au sud, alors que vous auriez dû aller vers le nord), vous pourriez considérer que cela revient à marcher cinq pâtés de maisons négatifs vers le nord.
"En inventant des nombres négatifs, cela élargit votre univers mathématique et vous permet de parler de choses qui étaient difficiles auparavant", explique Moore.
Les nombres imaginaires et les nombres complexes, c'est-à-dire les nombres qui incluent une composante imaginaire, sont un autre exemple de ce type de pensée créative. Comme l'explique Moore :"Si je vous demande, quelle est la racine carrée de neuf, c'est facile, n'est-ce pas ? La réponse est trois, même si cela pourrait aussi être moins trois", puisque la multiplication de deux négatifs donne un positif.
Mais quelle est la racine carrée de moins un ? Y a-t-il un nombre, multiplié par lui-même, qui vous donne moins un ? "À un certain niveau, ce chiffre n'existe pas", dit Moore.
Mais les mathématiciens de la Renaissance ont trouvé une manière astucieuse de contourner ce problème. "Avant d'inventer les nombres négatifs, il n'existait pas de nombre deux moins sept", poursuit Moore. " Alors peut-être devrions-nous inventer un nombre qui soit la racine carrée de moins un. Donnons-lui un nom. i ."
Une fois qu’ils ont eu l’idée d’un nombre imaginaire, les mathématiciens ont découvert qu’ils pouvaient faire des choses vraiment intéressantes avec. N'oubliez pas que multiplier un nombre positif par un nombre négatif équivaut à un nombre négatif, mais que multiplier deux nombres négatifs l'un par l'autre équivaut à un positif.
Mais que se passe-t-il lorsque vous commencez à multiplier i fois sept, puis fois i encore? Parce que je fois je est moins un, la réponse est moins sept. Mais si tu multiplies sept fois i fois i fois je fois i , tout à coup, vous obtenez sept positifs. "Ils s'annulent", note Moore.
Maintenant, réfléchissez-y. Vous avez pris un nombre imaginaire, l'avez inséré plusieurs fois dans une équation et vous avez obtenu un nombre réel que vous utilisez couramment dans le monde réel.
Ce n'est que quelques centaines d'années plus tard, au début des années 1800, que les mathématiciens ont découvert une autre façon de comprendre les nombres imaginaires :les considérer comme des points sur un plan, explique Mark Levi. Il est professeur et directeur du département de mathématiques à la Penn State University et auteur du livre de 2012 "Pourquoi les chats atterrissent sur leurs pieds :et 76 autres paradoxes et énigmes physiques".
Lorsque nous considérons les nombres comme des points sur une ligne, et que nous ajoutons ensuite une deuxième dimension, "les points sur ce plan sont les nombres imaginaires", dit-il.
Imaginez une droite numérique. Lorsque vous pensez à un nombre négatif, il se trouve à 180 degrés des nombres positifs sur la ligne. "Lorsque vous multipliez deux nombres négatifs, vous additionnez leurs angles, 180 degrés plus 180 degrés, et vous obtenez 360 degrés. C'est pourquoi c'est positif", explique Levi.
Mais vous ne pouvez pas placer la racine carrée de moins un n’importe où sur l’axe X. Cela ne fonctionne tout simplement pas. Cependant, si vous créez un axe Y perpendiculaire au X, vous disposez désormais d'un emplacement pour le placer.
Et même si les nombres imaginaires semblent n'être qu'un tas de mathématiques éblouissantes, ils sont en réalité très utiles pour certains calculs importants dans le monde technologique moderne, comme le calcul du flux d'air au-dessus d'une aile d'avion ou la détermination de la consommation d'énergie. de la résistance combinée à l'oscillation dans un système électrique.
Les nombres complexes avec des composantes imaginaires sont également utiles en physique théorique, explique Rolando Somma, physicien qui travaille sur les algorithmes d'informatique quantique au Laboratoire national de Los Alamos.
"En raison de leur relation avec les fonctions trigonométriques, ils sont utiles pour décrire, par exemple, des fonctions périodiques", explique Somma par courrier électronique. "Celles-ci apparaissent comme des solutions aux équations des ondes, nous utilisons donc des nombres complexes pour décrire diverses ondes, comme une onde électromagnétique. Ainsi, comme en mathématiques, le calcul complexe en physique est un outil extrêmement utile pour simplifier les calculs."
Les nombres complexes jouent également un rôle dans la mécanique quantique, une théorie qui décrit le comportement de la nature à l'échelle des atomes et des particules subatomiques.
"En mécanique quantique, i apparaît explicitement dans l'équation de Schrödinger", explique Somma. "Ainsi, les nombres complexes semblent jouer un rôle plus fondamental en mécanique quantique plutôt que de simplement servir d'outil de calcul utile."
"L'état d'un système quantique est décrit par sa fonction d'onde", poursuit-il. "En tant que solution à l'équation de Schrödinger, cette fonction d'onde est une superposition de certains états, et les nombres apparaissant dans la superposition sont complexes. Les phénomènes d'interférence en physique quantique, par exemple, peuvent être facilement décrits à l'aide de nombres complexes."
Maintenant, c'est intéressantLes nombres imaginaires sont également mentionnés dans le best-seller de Dan Brown de 2003, « The Da Vinci Code », et dans le roman de Thomas Pynchon de 2012, « Against the Day ».
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
