Qu'est-ce que la théorie des nombres ?

Quel rapport avez-vous avec les nombres ? Andrea Pistolesi/La banque d'images/Getty Images

Quiconque est déjà tombé amoureux vous dira que ce sont les petites choses à propos de l'autre personne qui comptent. Les blagues idiotes partagées à la fin de la journée. Les particularités du rituel du café du matin de l'autre personne. La façon dont il ou elle laisse de vieux livres de poche s'empiler sur la table de chevet. Ces détails interdépendants viennent nous définir. Ils retracent les courants sous-jacents de notre personnalité, et, à l'œil observateur et aimant, ils illuminent la vraie beauté.

Aux yeux de certains, il n'y a pas de plus belle beauté que celle que l'on trouve en mathématiques. Ils regardent le monde des nombres et, tout comme vous ne définiriez jamais votre bien-aimé uniquement par sa profession ou la couleur de ses cheveux, l'amateur de maths voit au-delà de la simple fonction des nombres. Les goûts de 6, 28 et 496 deviennent quelque chose de plus sublime que de simples porteurs d'informations. Indépendamment de leur utilisation, les nombres deviennent des entités fascinantes, et leurs relations mathématiques expriment la complexité d'un vaste système qui sous-tend la nature elle-même.

L'étude de ces relations parfois subtiles et profondes est la théorie du nombre , parfois appelé arithmétique supérieure . Les théoriciens des nombres scrutent les propriétés de entiers , les nombres naturels que vous connaissez comme -1, -2, 0, 1, 2 et ainsi de suite. C'est en partie théorique et en partie expérimental, alors que les mathématiciens cherchent à découvrir des interactions mathématiques fascinantes et même inattendues.

Quel genre de relations ? Bien, nous catégorisons en fait les entiers en différents types de nombres en fonction de leurs relations. Il y a, bien sûr, nombres impairs (1, 3, 5 … ), qui ne peut pas être divisé également, et nombres pairs (2, 4, 6 … ), qui peut. Il y a nombres carrés , produit en multipliant un autre nombre par lui-même. Par exemple, 2 x 2 =4 et 3 x 3 =9, donc 4 et 9 sont tous deux des nombres carrés. Ainsi est 1 (1 x 1 =1) et est donc 9, 801 (99 x 99 =9, 801). Nous exprimons également ces quatre exemples comme 2 ² , 3 ² , 1 ² et 99 ² .

Ajoutons maintenant un autre niveau d'intrigue à cet exemple. Dans certains cas, nous pouvons additionner des nombres carrés pour produire d'autres nombres carrés dans ce qu'on appelle un Triple pythagoricien , comme ils correspondent au théorème de Pythagore (une ² + b ² =c ² ). Un exemple de ceci est 3 ² + 4 ² =5 ² , ou 3, 4, 5.

La théorie des nombres consiste à analyser de telles relations mathématiques, ainsi que de poser de nouvelles questions à leur sujet. Mais qu'est-ce qu'une théorie des nombres ? Ce qui entre dans la formulation d'une preuve, et pourquoi certaines questions mathématiques restent-elles sans réponse pendant des siècles ?

Questions en théorie des nombres

Donc, le monde des mathématiques propose de nombreux types de nombres, chacun avec ses propriétés particulières. Les mathématiciens formulent des théories sur les relations entre les nombres et les groupes de nombres. Ils soutiennent leurs théories avec axiomes (déclarations antérieurement établies présumées vraies) et théorèmes (énoncés basés sur d'autres théorèmes ou axiomes).

La première étape dans la construction d'un brillant, Nouveau, théorie mathématique, cependant, pose une question théorique sur les relations entre les nombres. Par exemple, la somme de deux cubes peut-elle être un cube ? Vous vous souvenez des triplets de Pythagore de la page précédente ? Ces trios de trois nombres, tels que (3, 4, 5), résoudre l'équation a ² + b ² =c ² . Mais qu'en est-il d'un ³ + b ³ =c ³ ? Le mathématicien Pierre de Fermat a posé la même question sur les cubes et, en 1637, il prétendait avoir élaboré un calcul mathématique preuve cette, via ligne après ligne de logique minutieuse, a montré hors de tout doute que non, la somme de deux cubes ne peut pas être un cube. Nous appelons cela Le dernier théorème de Fermat . Malheureusement, au lieu de fournir la preuve complète dans ses notes, Fermat a simplement écrit, « J'ai une démonstration vraiment merveilleuse de cette proposition que cette marge est trop étroite pour contenir » [source :NOVA].

Plus de trois siècles et demi s'ensuivirent au cours desquels les mathématiciens du monde entier tentèrent en vain de redécouvrir la preuve de Fermat. Qu'est-ce qui chevauchait cette quête ? Rien, sauver la fierté académique et l'amour du pur, mathématiques abstraites. Puis en 1993, à l'aide de calculs mathématiques non découverts à l'époque de Fermat, Le mathématicien anglais Andrew Wiles a réussi à prouver le théorème vieux de 356 ans. Les experts continuent de se demander si Fermat a réellement élaboré une preuve aussi phénoménale à son âge pré-informatique, ou s'il s'est trompé.

Autres questions en théorie des nombres liées à divers modèles perçus ou théoriques dans les nombres ou les groupes de nombres. Tout commence par cet aspect le plus crucial de la pensée intelligente :la reconnaissance des formes. Le professeur de mathématiques de l'Université Brown, Joseph H. Silverman, présente cinq étapes de base de la théorie des nombres :

Accumuler des données mathématiques ou abstraites.
Examinez les données et recherchez des modèles ou des relations.
Formuler un conjecture (généralement sous la forme d'une équation) pour expliquer ces modèles ou relations.
Testez la conjecture avec des données supplémentaires.
Concevoir une preuve montrant que la conjecture est correcte. La preuve doit commencer par des faits connus et se terminer par le résultat souhaité.

Le dernier théorème de Fermat, donc, était vraiment une conjecture pendant 356 ans et n'est devenu un vrai théorème qu'en 1993. D'autres, comme la preuve des nombres premiers infinis d'Euclide (qui prouve que les nombres premiers sont illimités), est resté un modèle solide de raisonnement mathématique depuis 300 av. Encore d'autres conjectures de la théorie des nombres, à la fois ancien et nouveau, restent sans preuve.

Les nombres sont aussi infinis que l'entendement humain est fini, la théorie des nombres et ses divers sous-domaines continueront donc de captiver l'esprit des amateurs de mathématiques pendant des siècles. Les vieux problèmes peuvent tomber, mais des conjectures nouvelles et plus compliquées surgiront.

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Applications émergentes

Pour la plupart, la théorie des nombres reste un domaine purement abstrait de l'étude mathématique, mais des applications existent dans le domaine de la cryptographie, où la théorie des nombres peut créer des codes simples mais hautement sécurisés. D'autres domaines d'application incluent le traitement de l'information numérique, l'informatique, acoustique et cristallographie.

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