Un puzzle offre un visuel simple d'une tessellation que nous pourrions rencontrer couramment. Hemera/Thinkstock Nous étudions les mathématiques pour leur beauté, son élégance et sa capacité à codifier les motifs tissés dans le tissu de l'univers. Dans ses chiffres et ses formules, le profane perçoit l'ordre et le religieux capte des échos lointains du langage de la création. Les mathématiques atteignent le sublime; parfois, comme pour les pavages, il s'élève à l'art.
Pavage -- mosaïques sans lacunes de formes définies -- appartiennent à une race de rapports, les constantes et les modèles qui se reproduisent dans toute l'architecture, se révèlent au microscope et rayonnent de chaque rayon de miel et tournesol. Séparez n'importe quel nombre d'équations en géométrie, la physique, probabilités et statistiques, même la géomorphologie et la théorie du chaos, et vous trouverez pi (π) situé comme une pierre angulaire. Le nombre d'Euler (e) revient à plusieurs reprises dans le calcul, calculs de décroissance radioactive, formules d'intérêt composé et certains cas impairs de probabilité. Le nombre d'or (φ) formait la base de l'art, conception, l'architecture et la musique bien avant que les gens ne la découvrent ont également défini des arrangements naturels de feuilles et de tiges, OS, artères et tournesols, ou correspondait au cycle d'horloge des ondes cérébrales [sources :Padovan, Weiss, Roopun]. Il a même une relation avec un autre motif vivace favori, la suite de Fibonacci, qui produit sa propre progression de carrelage unique.
Science, la nature et l'art débordent également de pavages. Comme π, e et , des exemples de ces schémas répétitifs nous entourent chaque jour, des trottoirs banals, fonds d'écran, puzzles et sols carrelés au grand art de l'artiste graphique néerlandais M.C. Escher, ou l'époustouflante tuile de la fortification mauresque du XIVe siècle, l'Alhambra, à Grenade, Espagne. En réalité, le mot "pavage" vient de tesselle , le diminutif du mot latin tessère , un individu, typiquement carré, tuile dans une mosaïque. Tessère à son tour peut provenir du mot grec tessares , signifiant quatre.
Mathématiques, la science et la nature dépendent de modèles utiles comme ceux-ci, quelle que soit leur signification. Au-delà de la beauté transcendante d'une mosaïque ou d'une gravure, les pavages trouvent des applications à travers les mathématiques, astronomie, la biologie, botanique, écologie, infographie, science des matériaux et diverses simulations, y compris les réseaux routiers.
Dans cet article, nous allons vous montrer ce que sont ces mosaïques mathématiques, quels types de symétrie ils peuvent posséder et quels pavages spéciaux les mathématiciens et les scientifiques gardent dans leur boîte à outils d'astuces de résolution de problèmes.
D'abord, Voyons comment construire un pavage.
Les tessellations couvrent toute la gamme, du basique au ahurissant. Les plus simples consistent en une forme unique qui couvre un plan à deux dimensions sans laisser de vide. De là, le ciel est la limite, des motifs complexes de multiples formes irrégulières aux solides tridimensionnels qui s'emboîtent pour remplir l'espace ou des dimensions encore plus élevées.
Trois formes géométriques régulières en mosaïque :triangles équilatéraux, carrés et hexagones. D'autres formes à quatre côtés font aussi bien, y compris les rectangles et les losanges (losanges). Par extension, les triangles non équilatéraux carrelés de manière transparente s'ils sont placés dos à dos, créer des parallélogrammes. Curieusement, hexagones de toute forme tessellate si leurs côtés opposés sont égaux. Par conséquent, toute forme à quatre côtés peut former une mosaïque sans espace si elle est placée dos à dos, faire un hexagone.
Vous pouvez également tesseler un plan en combinant des polygones réguliers, ou en mêlant des polygones réguliers et semi-réguliers dans des dispositions particulières. Les polygones sont des formes bidimensionnelles composées de segments de ligne, comme les triangles et les rectangles. Les polygones réguliers sont des cas particuliers de polygones dans lesquels tous les côtés et tous les angles sont égaux. Les triangles et les carrés équilatéraux sont de bons exemples de polygones réguliers.
Toutes tessellations, même galbés et complexes comme M.C. Escher, commencez par une forme qui se répète sans lacunes. L'astuce consiste à modifier la forme - disons, un losange - de sorte qu'il s'emboîte toujours parfaitement. Une approche simple consiste à découper une forme d'un côté et à la coller sur l'autre. Cela produit une forme qui s'emboîte avec elle-même et s'empile facilement. Plus vous modifiez de côtés, plus le modèle devient intéressant.
Si vous vous sentez plus aventureux, essayez de gribouiller une ligne ondulée d'un côté, puis en copiant la même ligne sur le côté opposé. Cette approche peut nécessiter quelques ajustements pour que les pièces s'emboîtent correctement. Par exemple, si votre polygone a un nombre impair de côtés, vous voudrez peut-être diviser le côté restant en deux, puis dessiner des formes d'image miroir de chaque côté de la division. Cela crée un côté qui s'emboîte avec lui-même.
Tentez votre chance avec deux ou plusieurs formes qui se tessellent. Vous pouvez le faire géométriquement, ou remplissez simplement la page avec n'importe quelle forme que vous aimez, puis imaginez une image qui correspond à l'espace négatif. Un procédé apparenté consiste à remplir une forme de pavage connue avec des formes plus petites. Il y a même mosaïques fractales -- des motifs de formes qui s'emboîtent parfaitement et sont autosimilaires à plusieurs échelles.
Ne vous inquiétez pas si vos premiers résultats semblent un peu absurdes. Il a fallu des années à Escher pour maîtriser ces folles mosaïques, et même lui avait des couples qui n'avaient pas toujours de sens.
Maintenant que nous avons posé les bases, Jetons un coup d'œil à certaines des mosaïques spéciales que les chercheurs utilisent pour résoudre des problèmes théoriques et appliqués délicats.
M.C. EscherAucun talent de tessellation ne surpasse le graphiste néerlandais M.C. Escher. Un lithographe, bûcheron et graveur, Escher s'est intéressé aux formes sublimes après avoir visité l'Alhambra dans sa jeunesse [source :Université de St. Andrews].
Bien qu'il ne soit pas le premier à déplacer les pavages de formes géométriques vers des formes organiques et fantastiques, Escher s'est imposé comme son praticien prééminent. Son fantasque, des œuvres d'art éblouissantes et souvent impossibles restent très populaires aujourd'hui.
Lire la suite
Cette tessellation de Voronoi examine la densité de photons d'une région particulière. Chaque point dans la cellule représente un photon. Image reproduite avec l'aimable autorisation de la NASA Alors que les chercheurs exploraient les pavages et les définissaient mathématiquement, ils ont identifié certains types qui excellent à résoudre des problèmes difficiles. Un exemple populaire est le pavage de Voronoï ( Vermont ) également connu sous le nom de pavage de Dirichlet ou polygones de Thiessen.
Un VT est une tessellation basée sur un ensemble de points, comme des étoiles sur une carte. Chaque point est entouré d'une cellule polygonale - une forme fermée formée de segments de ligne - qui englobe toute la zone qui est plus proche de son point de définition que de tout autre point. Les limites des cellules (ou segments de polygone) sont équidistantes de deux points ; nœuds, où trois cellules ou plus se rencontrent, sont équidistants de trois points de définition ou plus. Les VT peuvent également tesseler des dimensions plus élevées.
Le motif VT qui en résulte ressemble au genre de nid d'abeilles qu'une abeille pourrait construire après une cintreuse de nectar toute la nuit. Toujours, que manquent de beauté ces cellules coquettes, ils font plus que compenser en valeur.
Comme d'autres pavages, Les VT apparaissent à plusieurs reprises dans la nature. Il est facile de comprendre pourquoi :tout phénomène impliquant des sources ponctuelles se développant ensemble à un rythme constant, comme des spores de lichen sur un rocher, produira une structure de type VT. Des collections de bulles connectées forment des VT tridimensionnels, une similitude dont les chercheurs tirent parti lors de la modélisation des mousses.
Les VT offrent également un moyen utile de visualiser et d'analyser les modèles de données. Les données spatiales étroitement regroupées se démarqueront sur un VT en tant que zones denses en cellules. Les astronomes utilisent cette qualité pour les aider à identifier les amas de galaxies.
Parce qu'un processeur informatique peut construire un VT à la volée à partir de données de source ponctuelle et d'un ensemble d'instructions simples, l'utilisation des VT permet d'économiser à la fois de la mémoire et de la puissance de traitement - des qualités vitales pour générer des graphiques informatiques de pointe ou pour simuler des systèmes complexes. En réduisant les calculs nécessaires, Les VT ouvrent la porte à des recherches autrement impossibles, comme le repliement des protéines, modélisation cellulaire et simulation tissulaire.
Un proche parent du VT, les pavage de Delaunay possède également une variété d'utilisations. Pour réaliser un pavage de Delaunay, commencer par un VT, puis tracez des lignes entre les points de définition de cellule de telle sorte que chaque nouvelle ligne croise une ligne partagée de deux polygones de Voronoï. Le réseau de triangles potelés qui en résulte fournit une structure pratique pour simplifier les graphiques et le terrain.
Les mathématiciens et les statisticiens utilisent les pavages de Delaunay pour répondre à des questions autrement incalculables, comme résoudre une équation pour chaque point de l'espace. Au lieu de tenter ce calcul infini, ils calculent une solution pour chaque cellule de Delaunay.
Dans son 27 janvier, 1921, adresse à l'Académie prussienne des sciences à Berlin, Einstein a dit, « Dans la mesure où les lois des mathématiques se réfèrent à la réalité, ils ne sont pas certains; et pour autant qu'ils soient certains, ils ne se réfèrent pas à la réalité. les approximations tesselées sont loin d'être parfaites. Néanmoins, ils permettent de progresser en réduisant des problèmes autrement lourds à une forme gérable par la puissance de calcul actuelle. Plus que ça, ils nous rappellent la beauté et l'ordre sous-jacents du cosmos.
Symétrie effrayanteTous les plans bidimensionnels avec des motifs répétitifs appartiennent à l'un des 17 « groupes de papiers peints » qui décrivent leurs types de symétrie (bien que tous les pavages ne soient pas symétriques) [source :Joyce]. Les quatre grandes catégories comprennent :
Les célèbres mosaïques de l'Alhambra présentent 13 des groupes de symétrie. L'art égyptien a utilisé 12 [sources :Grünbaum].
Lire la suite
