Par Chris Deziel, mis à jour le 30 août 2022
Crédit photo :Marek Uliasz / iStock / Getty Images
La lettre E peut avoir deux significations distinctes en mathématiques, selon qu'il est en majuscule ou non.
Sur les calculatrices et dans les textes d'ingénierie, un E majuscule désigne un exposant de 10. Par exemple, 1E6 signifie 1 × 10
6
, ou un million. Ce raccourci est pratique pour les nombres qui autrement déborderaient d’un écran ou encombreraient une page. Généralement, E est réservé aux exposants en base 10 ; il n'est pas utilisé avec d'autres bases.
Lors de l'écriture d'un nombre en notation scientifique, le format est xEy , où x est le(s) chiffre(s) significatif(s) et y est la puissance dix. Les exemples courants incluent 5E6 (cinq millions) et 4.27E4 (42 720). La plupart des contextes scientifiques arrondissent à deux décimales pour plus de clarté.
Les mathématiciens utilisent la minuscule e pour désigner la constante d'Euler, un nombre irrationnel d'environ 2,7182818284 (à dix décimales près). Comme π, il a un développement décimal infini et non répétitif. Malgré sa nature apparemment abstraite, e est l'une des constantes les plus essentielles des mathématiques et des sciences naturelles.
La constante e est née d'un problème financier posé par Jacob Bernoulli à la fin du XVIIe siècle. Considérons un dépôt de 1 000 $ à 100 % d’intérêts annuels composés pendant un an :le solde devient 2 000 $. Si le taux d’intérêt est réduit de moitié mais appliqué deux fois par an, le solde s’élève à 2 250 $. Au taux mensuel de 8,33 % (1/12 de 100 %), appliqué 12 fois par année, le solde atteint 2 613 $.
La formule générale des intérêts composés est :
(1 + r/n)^n , où r est le taux annuel (ici 1) et n est le nombre de périodes de composition.
Comme n se rapproche de l'infini, l'expression converge vers la limite e . Euler a découvert cette limite, montrant que le rendement maximum réalisable en un an sur un investissement de 1 000 $ est d'environ 2 718 $.
Fonctions de la forme y = e^x sont appelées exponentielles naturelles. Le graphique de cette fonction est unique car, en chaque point, la pente de la courbe est égale à sa valeur, et l’aire sous la courbe jusqu’à ce point est également égale à la valeur de la fonction. Ces propriétés font e indispensable dans le calcul, les équations différentielles et la modélisation de la croissance ou du déclin.
L'une des apparitions les plus omniprésentes de e dans la nature se trouve la spirale logarithmique, décrite par l'équation :
r = a e^(bθ) . Cette forme en spirale se retrouve dans les coquillages, les fossiles et de nombreuses fleurs.
Au-delà de la géométrie, e surfaces dans divers contextes scientifiques, tels que l'analyse des circuits électriques, la loi du refroidissement de Newton et l'équation différentielle régissant les oscillateurs harmoniques amortis.
Même trois siècles après sa découverte, le nombre d'Euler continue de révéler de nouvelles applications dans les domaines de la physique, de la biologie, de l'économie et de l'ingénierie.