Une ligne tangente touche une courbe lisse en exactement un point, partageant la même pente instantanée que la courbe à cet endroit. Déterminer son équation est une tâche de calcul de routine qui repose sur la dérivée de la fonction.
Calculez f ′(x) en utilisant les règles de différenciation standard. Pour les fonctions puissance, f(x)=xⁿ, la règle de puissance donne f ′(x)=nxⁿ⁻¹. Par exemple, pour f(x)=2x²+4x+10, la dérivée est f ′(x)=4x+4=4(x+1).
Lorsque la fonction est un produit, appliquez la règle du produit :(f₁f₂)′ =f₁f₂′ + f₁′f₂. Par exemple, f(x)=x²(x²+2x) donne f ′(x)=x²(2x+2)+2x(x²+2x)=4x³+6x².
La pente de la tangente est égale à la dérivée évaluée à la valeur x choisie. Pour f(x)=2x²+4x+10 à x=5, la pente est m =f ′(5) =4(5+1) =24.
Trouvez d'abord le point de tangence en branchant la valeur x dans la fonction d'origine :f(5)=2·5²+4·5+10=80. Le point est donc (5,80). En utilisant la forme point-pente y−y₀=m(x−x₀) donne
y−80 =24(x−5). La réorganisation sous la forme d'une ordonnée à l'origine de la pente donne y =24x − 1915.
Cette expression finale est l'équation de la tangente à f(x) en x=5.
