Par Kathryn White | Mis à jour le 30 août 2022
Les propriétés associatives, aux côtés des propriétés commutatives et distributives, constituent l'épine dorsale de la manipulation algébrique. Ils vous permettent de regrouper des termes sans altérer le résultat, ce qui rend les équations plus faciles à résoudre et les calculs quotidiens plus intuitifs.
La propriété associative de l'addition permet de regrouper des nombres dans une somme. Par exemple, (3 + 4 + 5) + (7 + 6) peut être réécrit comme (3 + 4) + (5 + 7 + 6) . Le calcul entre parenthèses confirme d'abord que les deux expressions sont égales à 25.
De même, la propriété associative de multiplication permet de regrouper des facteurs. (15 × 2)(3 × 4)(6 × 2) peut devenir (15 × 2 × 3)(4 × 6 × 2) et produisent toujours le même produit. Cela s'applique également aux variables :4(3X) peut s'écrire (4 × 3)X = 12X .
À proprement parler, la soustraction n’est pas associative. Cependant, en réécrivant la soustraction comme l'addition d'un nombre négatif, vous pouvez appliquer la propriété associative de l'addition. Par exemple :(3X – 4X) + (13X – 2X – 6X) devient (3X + (–4X)) + (13X + (–2X) + (–6X)) , qui peut être regroupé en (3X + (–4X) + 13X) + ((–2X) + 6X) . Notez que cette technique échoue lorsque le signe de soustraction se trouve entre parenthèses :la propriété distributive est alors nécessaire.
La division n'a pas de propriété associative. Pour regrouper des expressions, réécrivez la division sous forme de multiplication par une réciproque. Par exemple :(5 × 7/3)(3/4 × 6) devient (5 × 7 × 1/3)(3 × 1/4 × 6) , qui peut ensuite être regroupé sous (5 × 7)(1/3 × 3 × 1/4 × 6) . Cette méthode échoue également si un signe de division se trouve entre parenthèses.
