Par Ariel Balter, Ph.D. Mis à jour le 30 août 2022
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En calcul, la dérivée est un outil fondamental qui quantifie la façon dont une fonction change. Par exemple, si x(t) représente la position d'un véhicule au temps t , sa dérivée dx/dt donne la vitesse du véhicule. Visuellement, la dérivée est égale à la pente de la ligne tangente au graphique de la fonction en un point donné. Bien que la définition conceptuelle repose sur des limites, dans la pratique, les mathématiciens emploient un ensemble de règles standard et de tables de recherche pour calculer rapidement les dérivées.
Conceptuellement, la pente d'une ligne droite entre deux points est la montée sur la course :Δy / Δx . Pour une fonction y(x) à un x spécifique , la dérivée est la pente de la droite qui touche juste la courbe à [x, y(x)] . Pour approximer cela, on trace une ligne de [x, y(x)] vers un point proche [x+h, y(x+h)] où h est très petit. La course est h et la hausse est de y(x+h)-y(x) . Ainsi la pente est d'environ (y(x+h)-y(x))/h . Prendre la limite comme h se rapproche de zéro donne la pente exacte, notée y'(x) ou dy/dx .
En utilisant la définition limite, nous pouvons dériver la dérivée d'une fonction puissance y(x)=x^a . Par exemple, si y=x^3 , alors
dy/dx=lim_{h→0}[(x+h)^3-x^3]/h .
Expansion de (x+h)^3 donne [(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3)-x^3]/h=3x^2+3xh^2+h^2 . Comme h tend vers zéro, les termes contenant h disparaître, laissant y'(x)=3x^2 . En général, d/dx x^a = a x^{a-1} .
De nombreuses fonctions peuvent être exprimées sous forme de séries entières, c'est-à-dire des sommes infinies de la forme ∑_{n=0}^{∞}C_n x^n . Par exemple, la fonction sinusoïdale se développe en
sin(x)=x- x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + …
La différenciation terme par terme donne la série entière pour cos(x) :
cos(x)=1- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + …
Bien que les méthodes des limites et des séries de puissances constituent la base, les mathématiciens s'appuient souvent sur des tableaux précalculés pour les dérivées élémentaires :d/dx sin x = cos x , d/dx e^x = e^x , d/dx ln x = 1/x , et ainsi de suite. Pour les fonctions composites ou produits, des règles telles que la règle de chaîne et la règle de produit sont indispensables. Par exemple, la règle de chaîne donne d/dx sin(x^2)=2x cos(x^2) , et la règle produit donne d/dx[x sin x]=x cos x+sin x . En combinant ces règles standard avec les tableaux, toute fonction différentiable peut être traitée analytiquement. Lorsque les fonctions deviennent extrêmement complexes, des outils informatiques comme Mathematica ou SymPy sont utilisés pour automatiser le processus.