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Lorsque vous travaillez avec des solides 3D, vous devez souvent déterminer l'aire d'un plan qui traverse la forme :ses limites sont dictées par la géométrie du solide.
Prenons l'exemple d'un tuyau en acier enterré sous une résidence :20 m de long et 0,15 m de diamètre. Vous souhaiterez peut-être calculer sa surface transversale.
Les sections transversales sont généralement prises perpendiculairement aux axes principaux d’un solide. Pour une sphère, tout plan coupant le corps donne une tranche circulaire.
La zone résultante dépend de la géométrie du solide, de l'orientation de la coupe par rapport à son axe de symétrie et de la position du plan.
Le volume de tout solide rectangulaire, y compris un cube, est donné par V =l × l × h .
Si le plan de coupe est parallèle à la face supérieure ou inférieure, la section transversale est un rectangle d'aire l × w . Lorsque le plan est parallèle à l'une des faces latérales, l'aire devient l × h ou w × h . Les coupes non orthogonales peuvent produire des triangles, des hexagones ou d'autres polygones en fonction de l'angle du plan.
Exemple : Un cube a un volume de 27 m³. Parce que l =w =h , chaque arête mesure 3 m (puisque 3 × 3 × 3 =27). Une section transversale perpendiculaire à une base est un carré de 3 m × 3 m, soit une superficie de 9 m².
Un cylindre est formé en prolongeant un cercle le long d’un axe perpendiculaire à son diamètre. La surface de base est πr² , où r est le rayon.
Si la coupe est parallèle à l'axe du cylindre, la section reste un cercle d'aire πr² . Une coupe inclinée donne une ellipse dont l'aire est πab (avec un le demi-grand axe et b le demi-petit axe).
Exemple : Le tuyau sous la maison a un rayon de 0,15 m. La surface de la section transversale est π(0,15)² ≈ 0,071 m² . (Notez que la longueur du tuyau n'affecte pas ce calcul.)
Tout plan coupant une sphère produit un cercle. Connaître le diamètre ou la circonférence du cercle vous permet de calculer son aire en utilisant C =2πr et A =πr² .
Exemple : Une tranche de Terre est découpée près du pôle Nord, produisant une section circulaire d'une circonférence de 10 m. Le rayon est r =10/(2π) ≈ 1,59 m , ce qui donne une superficie de π(1,59)² ≈ 7,96 m² .