Les ordinateurs numériques utilisent l’arithmétique à précision finie, ce qui signifie qu’ils ne peuvent représenter que des nombres comportant un nombre fini de chiffres. Cela peut conduire à des erreurs lors de la modélisation de systèmes chaotiques, souvent caractérisés par de très petites différences dans les conditions initiales, entraînant de grandes différences dans le comportement à long terme.

Pour illustrer cela, considérons le système chaotique simple suivant :

$$\begin{équation}

x_{n+1} =4x_n(1-x_n)

\fin{équation}$$

où $x_n$ est l'état du système au temps $n$. Si nous simulons ce système à l'aide d'un ordinateur avec une arithmétique à précision finie, nous introduirons inévitablement des erreurs dans le calcul de $x_n$. Ces erreurs augmenteront avec le temps, conduisant finalement à de grandes différences entre le comportement simulé et réel du système.

La précision d'une simulation informatique numérique d'un système chaotique peut être améliorée en utilisant une arithmétique de plus grande précision, mais cela se fait au prix d'un temps de calcul et d'une utilisation de la mémoire accrus. Dans certains cas, il peut être nécessaire d'utiliser des techniques spéciales, telles que le contrôle adaptatif de la taille des pas, pour garantir que les erreurs restent suffisamment petites pour ne pas affecter de manière significative les résultats de la simulation.