En mathématiques et en géométrie, l'une des compétences qui distingue les experts des prétendants est la connaissance des astuces et des raccourcis. Le temps que vous passez à les apprendre est rentable en temps gagné lorsque vous résolvez des problèmes. Par exemple, il vaut la peine de connaître deux triangles rectangles spéciaux qui, une fois que vous les avez reconnus, sont faciles à résoudre. Les deux triangles en particulier sont le 30-60-90 et le 45-45-90.

TL; DR (Trop long; n'a pas lu)

Deux triangles droits spéciaux ont des internes angles de 30, 60 et 90 degrés, et 45, 45 et 90 degrés.
À propos des triangles droits

Les triangles sont des polygones à trois côtés dont les angles internes totalisent jusqu'à 180 degrés. Le triangle rectangle est un cas spécial dans lequel l'un des angles est de 90 degrés, donc les deux autres angles par définition doivent s'additionner à 90. Les fonctions sinus, cosinus, tangente et autres fonctions trigonométriques permettent de calculer les angles internes des triangles rectangles ainsi que la longueur de leurs côtés. Un autre outil de calcul indispensable pour les triangles rectangles est le théorème de Pythagore, qui stipule que le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, ou c ^{2 \u003d a 2 + b 2.
Résolution de triangles rectangles spéciaux}

Lorsque vous travaillez sur tout type de problème de triangle rectangle, on vous donne généralement au moins un angle et un côté et on vous demande de calculer le reste angles et côtés. En utilisant la formule de Pythagore ci-dessus, vous pouvez calculer la longueur de n'importe quel côté si vous avez les deux autres. Un grand avantage des triangles rectangles spéciaux est que les proportions des longueurs de leurs côtés sont toujours les mêmes, vous pouvez donc trouver la longueur de tous les côtés si vous n’en avez qu’un seul. De plus, si l'on ne vous donne qu'un seul côté et que le triangle est spécial, vous pouvez également trouver les valeurs des angles.
Le Triangle 30-60-90

Comme son nom l'indique, le Le triangle rectangle 30-60-90 a des angles internes de 30, 60 et 90 degrés. En conséquence, les côtés de ce triangle tombent dans les proportions 1: 2: √3, où 1 et √3 sont les longueurs des côtés opposés et adjacents et 2 est l'hypoténuse. Ces nombres vont toujours de pair: si vous résolvez les côtés d'un triangle rectangle et trouvez qu'ils correspondent au motif 1, 2, √3, vous savez que les angles seront de 30, 60 et 90 degrés. De même, si l'on vous donne l'un des angles comme 30, vous savez que les deux autres sont 60 et 90, et aussi que les côtés auront les proportions 1: 2: √3.
Le 45-45-90 Triangle

Le triangle 45-45-90 fonctionne un peu comme le 30-60-90, sauf que deux angles sont égaux, tout comme les côtés opposés et adjacents. Il a des angles internes de 45, 45 et 90 degrés. Les proportions des côtés du triangle sont 1: 1: √2, la proportion de l'hypoténuse étant √2. Les deux autres côtés sont de longueur égale. Si vous travaillez sur un triangle rectangle et que l'un des angles internes est de 45 degrés, vous savez en un instant que l'angle restant doit également être de 45 degrés, car le triangle entier doit totaliser jusqu'à 180 degrés.
Triangle Sides et proportions

Lors de la résolution des deux triangles rectangles spéciaux, gardez à l'esprit que ce sont les proportions
des côtés qui importent, pas leur mesure en termes absolus. Par exemple, un triangle a des côtés qui mesurent 1 pied, 1 pied et √2 pieds, donc vous savez que c'est un triangle 45-45-90 et a des angles internes de 45, 45 et 90 degrés.

Mais que faites-vous avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent √17 pieds et √17 pieds? Les proportions des côtés sont la clé. Comme les deux côtés sont identiques, la proportion est de 1: 1 l'un avec l'autre, et comme il s'agit d'un triangle rectangle, la proportion de l'hypoténuse est de 1: √2 avec l'un ou l'autre des côtés. Les proportions égales vous indiquent que les côtés sont 1, 1, √2, ce qui n'appartient qu'au triangle spécial 45-45-90. Pour trouver l'hypoténuse, multipliez √17 par √2 pour obtenir √34 pieds.