La meilleure façon de factoriser des polynômes avec des fractions commence par réduire les fractions en termes plus simples. Les polynômes représentent des expressions algébriques avec deux ou plusieurs termes, plus spécifiquement, la somme de plusieurs termes qui ont des expressions différentes de la même variable. Les stratégies qui aident à simplifier les polynômes impliquent de factoriser le plus grand facteur commun, puis de grouper l'équation dans ses termes les plus bas. Il en va de même même lors de la résolution de polynômes avec des fractions.
Polynômes avec des fractions définies

Vous avez trois façons d'afficher l'expression polynômes avec des fractions. La première interprétation concerne les polynômes avec des fractions pour les coefficients. En algèbre, le coefficient est défini comme la quantité numérique ou la constante trouvée avant une variable. En d'autres termes, les coefficients pour 7a, b et (1/3) c sont respectivement 7, 1 et (1/3). Par conséquent, deux exemples de polynômes avec des coefficients de fraction seraient:

(1/4) x ^{2 + 6x + 20 ainsi que x 2 + (3/4) x + ( 1/8).}

La deuxième interprétation des «polynômes avec fractions» fait référence aux polynômes existant sous forme de fraction ou de rapport avec un numérateur et un dénominateur, où le polynôme numérateur est divisé par le polynôme dénominateur. Par exemple, cette deuxième interprétation est illustrée par:

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2 + 11x + 18)}

La troisième interprétation, quant à elle , concerne la décomposition partielle des fractions, également appelée expansion partielle des fractions. Parfois, les fractions polynomiales sont complexes de sorte que lorsqu'elles sont «décomposées» ou «décomposées» en termes plus simples, elles sont présentées comme des sommes, des différences, des produits ou des quotients de fractions polynomiales. Pour illustrer, la fraction polynomiale complexe de (8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2) est évaluée par décomposition fractionnelle partielle, qui, incidemment, implique la factorisation de polynômes, soit [3 /(x + 2 )] + [5 /(x-1)] sous sa forme la plus simple.
Notions de base de l'affacturage - Propriété distributive et méthode FOIL}

Les facteurs représentent deux nombres qui, multipliés ensemble, équivalent à un troisième nombre. Dans les équations algébriques, la factorisation détermine quelles deux quantités ont été multipliées ensemble pour arriver à un polynôme donné. La propriété distributive est fortement suivie lors de la multiplication des polynômes. La propriété distributive permet essentiellement de multiplier une somme en multipliant chaque nombre individuellement avant d'ajouter les produits. Observez, par exemple, comment la propriété distributive est appliquée dans l'exemple de:

7 (10x + 5) pour arriver au binôme de 70x + 35.

Mais, si deux binômes sont multiplié ensemble, une version étendue de la propriété distributive est utilisée via la méthode FOIL. FOIL représente l'acronyme de First, Outer, Inner et Last terms multiplié. Par conséquent, la factorisation des polynômes implique d'effectuer la méthode FOIL à l'envers. Prenez les deux exemples susmentionnés avec les polynômes contenant des coefficients de fraction. L'exécution de la méthode FOIL à l'envers sur chacun d'eux donne les facteurs de:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) pour le premier polynôme et les facteurs de:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) pour le deuxième polynôme.

Exemple: (1/4) x ^{2 + 6x + 20 \u003d ((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10)}

Exemple: x ^{2 + (3/4) x + (1/8) \u003d (x + (1/4)) (x + (1/2))
Mesures à prendre lors de la factorisation des fractions polynomiales}

D'en haut, les fractions polynomiales impliquent un polynôme dans le numérateur divisé par un polynôme dans le dénominateur . L'évaluation des fractions polynomiales nécessite donc de factoriser d'abord le polynôme numérateur puis de factoriser le polynôme dénominateur. Il aide à trouver le plus grand facteur commun, ou GCF, entre le numérateur et le dénominateur. Une fois trouvé le GCF du numérateur et du dénominateur, il s'annule, réduisant finalement l'équation entière en termes simplifiés. Considérons l'exemple de fraction polynomiale d'origine ci-dessus de

(x ^{2 + 7x + 10) ÷ (x 2+ 11x + 18).}

Factorisation des polynômes numérateur et dénominateur pour trouver les résultats GCF dans:

[(x + 2) (x + 5)] ÷ [(x + 2) (x + 9)], le GCF étant (x + 2).

Le GCF au numérateur et au dénominateur s'annulent pour fournir la réponse finale dans les termes les plus bas de (x + 5) ÷ (x + 9).

Exemple:

x ^{2 + 7x + 10 (x + 2)
(x + 5) (x + 5)}

_
_
\u003d
_
_
_ \u003d _
_

x ^{2+ 11x + 18 (x + 2)
(x + 9) (x + 9)
Évaluation des équations via la décomposition partielle des fractions}

La décomposition partielle des fractions, qui implique la factorisation, est un moyen de réécrire des complexes équations de fraction polynomiale sous une forme plus simple. Revoir l'exemple du dessus de

(8x + 7) ÷ (x ^{2 + x - 2).
Simplifier le dénominateur}

Simplifier le dénominateur pour obtenir: (8x + 7) ÷ [(x + 2) (x - 1)].

8x + 7 8x + 7

_
_
< em> \u003d
_
_

x ^{2 + x - 2 (x + 2) (x - 1)
Réorganiser le Numérateur}

Ensuite, réorganisez le numérateur pour qu'il commence à avoir les GCF présents dans le dénominateur, pour obtenir:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1)], qui est étendu à {(3x - 3) ÷ [(x + 2) (x - 1)]} + {(5x + 10) ÷ [(x + 2) (x - 1 )]}.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

_
_
_
_ \u003d _
_
_
\u003d _
_
____ +

( x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Pour l'ajout gauche, le GCF est (x - 1), tandis que pour le bon addend, le GCF est (x + 2), qui s'annule dans le numérateur et le dénominateur, comme vu dans {[(3 (x - 1)) ÷ ((x + (x - 1) (x + 2))]}.

3x - 3 5x + 10 3 (x - 1)
5 (x + 2)

_
_
_ +
_
_
\u003d
< em> _
_
_ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) ( x - 1)
(x + 2)
(x - 1)

Ainsi, lorsque les GCF s'annulent, la réponse finale simplifiée est [3 ÷ (x + 2)] + [5 ÷ (x - 1)]:

3 5

_
_
+ _
_ comme solution de la décomposition de la fraction partielle.

x + 2 x - 1