Imaginez un haut-parleur placé dans une pièce avec quelques micros. Lorsque le haut-parleur émet une impulsion sonore, les microphones reçoivent plusieurs réponses retardées au fur et à mesure que le son se répercute sur chaque mur de la pièce. Ces échos de premier ordre - entendus après que les impulsions sonores aient rebondi une seule fois sur un mur - puis rebondissent sur chaque mur pour créer des échos de second ordre et ainsi de suite.

Dans un journal publié la semaine prochaine dans le Journal SIAM sur l'algèbre appliquée et la géométrie , Mireille Boutin et Gregor Kemper tentent de reconstituer la forme d'une pièce à partir d'échos de premier ordre reçus par quatre microphones attachés à un drone. Les microphones sont alignés dans une configuration rigide et ne se trouvent pas dans un plan commun. Placer des microphones sur un drone, plutôt que de manière indépendante dans toute la pièce, révèle de nouveaux domaines d'application.

"Les microphones écoutent une courte impulsion sonore rebondissant sur des surfaces planes finies - ou les" murs, '" Boutin, professeur de mathématiques et de génie électrique et informatique à l'Université Purdue, explique. "Quand un microphone entend un son qui a rebondi sur un mur, la différence de temps entre l'émission et la réception du son est enregistrée. Cette différence de temps correspond à la distance parcourue par le son pendant ce temps."

Le délai de chaque écho de premier ordre fournit aux auteurs un ensemble de distances de chaque microphone aux images miroir de la source réfléchies à travers chaque mur. Il est impossible d'identifier le mur correspondant d'où provient chaque écho; un microphone peut même ne pas recevoir d'écho d'un mur donné en fonction de sa configuration et de la géométrie de la pièce.

Les auteurs utilisent une technique de modélisation connue pour se concentrer sur les échos du premier ordre. Cette méthode interprète le son rebondi comme provenant d'une source virtuelle derrière le mur au lieu de la source, permettant ainsi à un point source virtuel de représenter chaque mur.

"Les différences de temps entre l'émission et la réception fournissent la distance entre le microphone et le point source virtuel, " dit Boutin. " Si nous connaissons la distance d'un de ces points sources virtuels à chacun des quatre microphones, nous pouvons récupérer les coordonnées de la source virtuelle et reconstruire par la suite quatre points sur le mur - et donc le plan qui contient le mur."

Cependant, les microphones ne peuvent pas déterminer la distance qui correspond à chaque point source virtuel, c'est à dire., chaque mur. En réponse, Boutin et ses collègues ont conçu une méthode pour étiqueter les distances qui correspondent à chaque mur, un processus qu'ils appellent "tri par écho".

La technique de tri par écho utilise un polynôme comme test de dépistage et découvre si les quatre distances se situent sur l'ensemble zéro d'un certain polynôme à quatre variables. Une valeur non nulle révèle que les distances ne peuvent pas rebondir sur le même mur. Alternativement, si le polynôme est égal à zéro, les distances pourraient éventuellement provenir du même mur.

Cette étude démontre que la reconstruction d'une pièce à partir d'échos de premier ordre acquis par quatre microphones est un problème théorique bien posé dans des conditions génériques. "C'est un premier pas vers la résolution du problème correspondant du monde réel, » observe Boutin. « Si le problème n'était pas bien posé, alors une solution pratique nécessiterait plus d'informations. Mais comme on sait qu'il est bien posé, nous pouvons passer à l'étape suivante :trouver un moyen de reconstruire la pièce lorsque les mesures d'écho sont bruyantes."

Cette tâche n'est en aucun cas simple. Certains placements de drones posent des problèmes mal posés, suggérant que la version bruyante du problème sera sensible à un mauvais conditionnement. Plus de travail est nécessaire pour résoudre correctement le problème de la reconstruction d'une pièce à partir d'échos.

Alors que le cadre mathématique nécessite simplement une configuration rigide de microphones non coplanaires, la recherche a une gamme d'autres applications potentielles. "Ces micros peuvent être placés à l'intérieur d'une pièce ou sur n'importe quel véhicule, comme une voiture, un véhicule sous-marin, ou le casque d'une personne, " Gregor Kemper, professeur au Département de mathématiques de la Technische Universität München, explique. L'article du journal des auteurs pose des exemples avec des les sources sonores intérieures ainsi que les sources placées sur des véhicules qui peuvent être tournées et déplacées en raison du mouvement ; ces dernières sources présentent des situations nettement plus compliquées.

"Une voiture en mouvement est différente d'un drone ou d'un véhicule sous-marin d'une manière intéressante, " ajoute Kemper. " Ses positions n'ont que trois degrés de liberté :les axes x, axes y, et l'orientation, alors qu'un drone a six degrés de liberté. Notre travail indique que ces six degrés de liberté sont suffisants pour détecter presque toujours les murs, mais cela ne signifie pas nécessairement que trois degrés suffiront également. Le cas d'une voiture ou de tout véhicule de surface fait l'objet de recherches permanentes par notre groupe."

Atteindre l'économie de calcul pour de tels problèmes est un objectif important pour Boutin et Kemper. Leur méthode nécessite un système de calcul formel pour effectuer des calculs symboliques, qui peut devenir plus complexe sur le plan informatique pour d'autres variantes du problème, limitant ainsi son expansion à des problèmes similaires. "Il serait souhaitable de trouver une technique moins coûteuse en calcul pour prouver les mêmes résultats, surtout si cette méthode s'avérait applicable à d'autres cas, " dit Kemper. "Notre cadre mathématique est adapté aux véhicules de surface, mais les calculs réels nécessaires à la preuve présentent des défis. Nous espérons que d'autres équipes exploreront cette question."