Un mathématicien de l'Université RUDN a prouvé qu'il n'y a pas de solutions aux inégalités différentielles fonctionnelles associées aux équations de type Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), équations différentielles partielles stochastiques non linéaires qui surviennent lors de la description de la croissance de surface. Les conditions obtenues pour l'absence de solutions aideront dans les études de croissance des polymères, la théorie des réseaux de neurones, et réactions chimiques. L'article a été publié dans Variables complexes et équations elliptiques .

La principale difficulté avec les équations aux dérivées partielles non linéaires est que beaucoup d'entre elles ne sont pas résolues exactement. A des fins pratiques, de telles équations sont résolues numériquement, et les questions de l'existence et de l'unicité de leurs solutions deviennent des problèmes sur lesquels les scientifiques se débattent depuis des décennies, et parfois des siècles. L'un de ces problèmes - l'existence et la régularité de Navier-Stokes - a été inclus dans la célèbre liste des problèmes du prix du millénaire :le Clay Mathematical Institute aux États-Unis offre un prix de 1 million de dollars pour la résolution de l'un de ces problèmes.

Toute équation aux dérivées partielles est définie dans un certain domaine, par exemple., sur un plan ou dans une sphère, ou dans l'espace. D'habitude, il est possible de trouver une solution à de telles équations dans un petit voisinage d'un point, c'est à dire., une solution locale. Mais il peut rester difficile de savoir s'il existe une solution globale pour l'ensemble de la zone et comment la trouver.

Un autre problème des équations aux dérivées partielles non linéaires est que leurs solutions peuvent "exploser, " C'est, commencent soudainement à tendre vers l'infini sur des intervalles de temps finis. Si ça arrive, cela signifie qu'il n'y a pas de solution générale. Et vice versa, s'il n'existe pas de solution générale, cela signifie que toute solution locale trouvée doit également "exploser" quelque part. Par conséquent, il est important de rechercher des conditions dans lesquelles il n'y a pas de solution générale.

Les mathématiciens utilisent des inégalités différentielles dans leurs tentatives pour traiter ce problème. L'essence de la méthode est qu'il est possible d'obtenir des inégalités non strictes qui seront "plus fortes" que l'équation d'origine à partir de l'équation aux dérivées partielles d'origine. Puis, si une fonction ne satisfait pas ces inégalités, ce n'est certainement pas une solution générale à l'équation originale.

Le mathématicien de l'Institut de mathématiques de l'Université RUDN, Andrei Muravnik, a utilisé la méthode des inégalités. Il a généralisé les théorèmes existants au cas quasi-linéaire qui se pose dans l'étude des équations de type KPZ. Les conditions obtenues ne limitent pas seulement l'ensemble des solutions possibles aux équations de type KPZ, mais sont également nécessaires à la résolution des problèmes qui se posent dans la pratique. En particulier, ces résultats aident à résoudre les problèmes de croissance de surface lors de la modélisation du comportement des polymères, et peut également être utilisé dans la théorie des réseaux de neurones.

La méthode des inégalités prédit théoriquement le comportement discontinu des systèmes physiques décrits par les équations de type KPZ. Cela permettra de tirer des conclusions sur les propriétés physiques de ces systèmes. Aussi, cette méthode peut aider à résoudre les problèmes d'extensibilité des solutions locales. De telles méthodes deviennent nécessaires lorsque les méthodes de calcul ne suffisent plus. Des problèmes similaires se posent dans la théorie des flux de trafic, réactions chimiques avec diffusion, ainsi que dans la modélisation des transitions de phase.

Dans les années récentes, la théorie selon laquelle il n'y a pas de solutions générales aux problèmes non linéaires a été développée plus avant. Un article d'Andrei Muravnik poursuit cette tendance. Les conditions d'inexistence de solutions sont intéressantes non seulement d'un point de vue théorique, mais aussi parce qu'ils aideront les scientifiques à étudier une multitude de problèmes appliqués. Dans le futur proche, les résultats mathématiques de l'Université RUDN peuvent trouver de nombreuses applications en physique mathématique appliquée.