"Imaginez que vous tenez un beignet dans le noir, ", dit Ken Ono, mathématicien de l'Université Emory. "Vous ne seriez même pas en mesure de décider s'il y a des pépites. Mais les informations contenues dans notre clair de lune O'Nan nous permettent de « voir » nos beignets mathématiques clairement en nous donnant une mine d'informations sur les points sur les courbes elliptiques." Crédit :Stephen Nowland, Université Emory
Les mathématiciens ont ouvert un nouveau chapitre dans la théorie du clair de lune, celui qui commence à exploiter le pouvoir des parias - des groupes simples sporadiques qui n'avaient auparavant aucune application connue.
"Nous avons trouvé une nouvelle forme de clair de lune, qui, en maths, fait référence à une idée si farfelue qu'elle ressemble à de la folie, " dit Ken Ono, un théoricien des nombres à l'Université Emory. "Et nous avons utilisé ce clair de lune pour montrer l'utilité mathématique du groupe de parias O'Nan d'une manière qui le fait passer de la théorie à la réalité. Il s'avère que le groupe O'Nan connaît des informations approfondies sur les courbes elliptiques."
Communication Nature publié la théorie des représentations pour le groupe O'Nan développée par Ono, John Duncan (également théoricien des nombres à Emory) et Michael Mertens (un ancien post-doctorant à Emory qui est maintenant à l'Université de Cologne).
"Nous avons montré que le groupe O'Nan, un très grand groupe de parias, organise réellement les courbes elliptiques d'une manière belle et systématique, " Dit Duncan. " Et non seulement il les organise, cela nous permet de voir certaines de leurs propriétés les plus profondes. Il voit une infinité de courbes, ce qui nous permet ensuite d'utiliser notre clair de lune pour faire des prédictions sur leur comportement général. C'est important, parce que ces objets sous-tendent certaines des questions les plus difficiles à l'horizon même de la théorie des nombres."
Les courbes elliptiques peuvent sembler ésotériques, mais ils font partie de notre quotidien. Ils sont utilisés en cryptographie - la création de codes difficiles à casser.
Une courbe elliptique n'est pas une ellipse, c'est plutôt un tore complexe, ou en forme de beignet. "Vous pouvez le considérer comme un beignet avec des des configurations délicates de points rationnels très soigneusement placés, " Dit Duncan. " Alors, dans les termes les plus simples, c'est comme un beignet que tu manges, qui peut avoir des paillettes dessus. Tout le jeu dans le calcul des courbes elliptiques consiste à déterminer si le beignet a des pépites et, si c'est le cas, où exactement les paillettes sont placées."
Contrairement à un beignet comestible, cependant, ces beignets mathématiques ne sont pas visibles.
"Imaginez que vous teniez un beignet dans le noir, " dit Ono. " Vous ne seriez même pas en mesure de décider s'il y a des pépites. Mais les informations contenues dans notre clair de lune O'Nan nous permettent de « voir » nos beignets mathématiques clairement en nous donnant une mine d'informations sur les points sur les courbes elliptiques. »
Les résultats sont d'autant plus surprenants qu'aucun des parias, comme six des groupes simples sporadiques de mathématiques sont connus, était déjà apparu dans la théorie du clair de lune, ou n'importe où ailleurs en science.
La théorie originale du clair de lune de Math remonte à un article de 1979 intitulé "Monstrous Moonshine" de John Conway et Simon Norton. L'article décrit une connexion surprenante entre un objet algébrique massif connu sous le nom de groupe de monstres et la fonction j, un objet clé de la théorie des nombres. En 2015, un groupe de mathématiciens - dont Duncan et Ono - a présenté la preuve de la conjecture Umbral Moonshine, qui a révélé 23 autres clairs de lune, ou des connexions mystérieuses entre les dimensions des groupes de symétrie et les coefficients des fonctions spéciales.
En mathématiques théoriques, la symétrie vient en groupes. Les solutions symétriques sont généralement optimales, car ils vous permettent de diviser un gros problème en parties égales et de le résoudre plus rapidement.
Dans les termes les plus simples, une courbe elliptique est une forme de beignet avec des points soigneusement placés, expliquent Ken Ono, mathématiciens de l'Université Emory, la gauche, et John Duncan, droit. "Tout le jeu dans le calcul des courbes elliptiques consiste à déterminer si le beignet a des pépites et, si c'est le cas, où exactement les paillettes sont placées, " Dit Duncan. Crédit :Stephen Nowland, Université Emory
La classification des briques des groupes est regroupée dans l'ATLAS des Groupes Finis, publié en 1985. "L'ATLAS est comme la version mathématique du tableau périodique des éléments, mais pour la symétrie au lieu des atomes, " explique Duncan.
L'ATLAS et le tableau périodique contiennent tous deux des caractères bizarres qui peuvent - ou non - exister dans la nature.
Quatre éléments super lourds avec des numéros atomiques supérieurs à 100, par exemple, ont été découverts en 2016 et ajoutés au tableau périodique. "Les gens doivent travailler dur pour produire ces éléments dans les accélérateurs de particules et ils disparaissent immédiatement après leur construction, " dit Ono. " Alors vous devez vous demander s'ils font vraiment partie de notre alchimie quotidienne. "
Les groupes de parias posent une question similaire en mathématiques. Sont-ils des constructions naturelles ou simplement théoriques ?
"Notre travail prouve, pour la première fois, qu'un paria est réel, " dit Ono. "Nous avons trouvé le groupe O'Nan vivant dans la nature. Notre théorème montre qu'il est connecté à des courbes elliptiques, et chaque fois que vous trouvez une correspondance entre deux objets qui ne sont apparemment pas liés, cela ouvre la porte à en savoir plus sur ces objets."
