Résoudre les mystères de l'électromagnétisme a été l'une des plus grandes réalisations de la physique à ce jour, et les leçons apprises sont entièrement résumées dans les équations de Maxwell.

James Clerk Maxwell donne son nom à ces quatre équations élégantes, mais ils sont l'aboutissement de décennies de travail de nombreux physiciens, dont Michael Faraday, André-Marie Ampère et Carl Friedrich Gauss - qui donnent leur nom à trois des quatre équations - et bien d'autres. Alors que Maxwell lui-même n'a ajouté qu'un terme à l'une des quatre équations, il a eu la clairvoyance et la compréhension nécessaires pour recueillir le meilleur des travaux qui avaient été faits sur le sujet et les présenter d'une manière encore utilisée par les physiciens aujourd'hui.

Pendant de très nombreuses années, les physiciens ont cru que l'électricité et le magnétisme étaient des forces et des phénomènes distincts. Mais grâce au travail expérimental de gens comme Faraday, il est devenu de plus en plus clair qu'ils étaient en fait les deux faces du même phénomène, et les équations de Maxwell présentent cette image unifiée qui est toujours aussi valable aujourd'hui qu'au 19e siècle. Si vous allez étudier la physique à des niveaux plus élevés, vous devez absolument connaître les équations de Maxwell et comment les utiliser.
Les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell sont les suivantes, sous la forme différentielle et l'intégrale forme. (Notez que bien que la connaissance des équations différentielles soit utile ici, une compréhension conceptuelle est possible même sans elle.)

Loi de Gauss pour l'électricité

Forme différentielle:
\\ bm {∇ ∙ E} \u003d \\ frac {ρ} {ε_0}

Forme intégrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Pas de loi monopolaire /Loi de Gauss pour le magnétisme

Forme différentielle:
\\ bm {∇ ∙ B} \u003d 0

Forme intégrale:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {A} \u003d 0

Loi d'induction de Faraday

Forme différentielle:
\\ bm {∇ × E} \u003d - \\ frac {∂ \\ bm {B}} {∂t}

Forme intégrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}

Loi d'Ampère-Maxwell /Loi d'Ampère

Forme différentielle:
\\ bm {∇ × B} \u003d \\ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂E} {∂t}

Forme intégrale:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A } Symboles utilisés dans les équations de Maxwell

Les équations de Maxwell utilisent une assez grande sélection de symboles, et i Il est important que vous compreniez ce que cela signifie si vous voulez apprendre à les appliquer. Voici donc un aperçu de la signification des symboles utilisés:

B
\u003d champ magnétique

E
\u003d champ électrique

ρ
\u003d densité de charge électrique

ε _{0
\u003d permittivité de l'espace libre \u003d 8.854 × 10 ^{-12 m -3 kg -1 s 4 A 2}}

q
\u003d charge électrique totale (somme nette des charges positives et négatives)

< em> 𝜙
_{B \u003d flux magnétique}

J
\u003d densité de courant

I
\u003d courant électrique

c
\u003d vitesse de la lumière \u003d 2,998 × 10 ^{8 m /s}

μ
_{0 \u003d perméabilité de l'espace libre \u003d 4π × 10 < sup> −7 N /A ²}

De plus, il est important de savoir que ∇ est l'opérateur del, un point entre deux quantités ( X
∙ Y
) montre un produit scalaire, un symbole de multiplication en gras entre deux quantités est un produit vectoriel ( X
× Y
), que l'opérateur del avec un point est appelé la "divergence" ( par exemple, ∇ ∙ X
\u003d d ivergence de X
\u003d div X
) et un opérateur del avec un produit scalaire est appelé curl (par exemple, ∇ × Y
\u003d curl de Y
\u003d curl Y
). Enfin, A
dans d A
signifie la surface de la surface fermée pour laquelle vous calculez (parfois écrite comme d S
), et le s
dans d_s_ est une très petite partie de la limite de la surface ouverte pour laquelle vous calculez (bien que ce soit parfois d_l_, se référant à une composante linéaire infinitésimale).
Dérivation des équations

La première équation des équations de Maxwell est la loi de Gauss, et elle déclare que le flux électrique net à travers une surface fermée est égal à la charge totale contenue à l'intérieur de la forme divisée par la permittivité de l'espace libre. Cette loi peut être dérivée de la loi de Coulomb, après avoir franchi l'étape importante d'exprimer la loi de Coulomb en termes de champ électrique et l'effet qu'elle aurait sur une charge d'essai.

La seconde des équations de Maxwell est essentiellement équivalente à l'affirmation selon laquelle «il n'y a pas de monopôles magnétiques». Elle indique que le flux magnétique net à travers une surface fermée sera toujours égal à 0, car les champs magnétiques sont toujours le résultat d'un dipôle. La loi peut être dérivée de la loi de Biot-Savart, qui décrit le champ magnétique produit par un élément courant.

La troisième équation - la loi d'induction de Faraday - décrit comment un champ magnétique changeant produit une tension dans une boucle de fil ou de conducteur. Il était à l'origine dérivé d'une expérience. Cependant, étant donné le résultat qu'un flux magnétique changeant induit une force électromotrice (EMF ou tension) et donc un courant électrique dans une boucle de fil, et le fait que EMF est défini comme l'intégrale de la ligne du champ électrique autour du circuit, le la loi est facile à assembler.

La quatrième et dernière équation, la loi d'Ampère (ou la loi Ampère-Maxwell pour lui attribuer sa contribution) décrit comment un champ magnétique est généré par une charge en mouvement ou un changement champ électrique. La loi est le résultat d'une expérience (et donc - comme toutes les équations de Maxwell - n'était pas vraiment «dérivée» dans un sens traditionnel), mais l'utilisation du théorème de Stokes est une étape importante pour obtenir le résultat de base dans la forme utilisée aujourd'hui.
Exemples d'équations de Maxwell: la loi de Gauss

Pour être franc, surtout si vous n'êtes pas exactement à la hauteur de votre calcul vectoriel, les équations de Maxwell semblent assez intimidantes malgré leur relative compacité. La meilleure façon de vraiment les comprendre est de passer par quelques exemples de leur utilisation dans la pratique, et la loi de Gauss est le meilleur endroit pour commencer. La loi de Gauss est essentiellement une équation plus fondamentale qui fait le travail de la loi de Coulomb, et il est assez facile d'en déduire la loi de Coulomb en considérant le champ électrique produit par une charge ponctuelle.

Appel de la charge q
, le point clé pour appliquer la loi de Gauss est de choisir la bonne «surface» pour examiner le flux électrique. Dans ce cas, une sphère fonctionne bien, qui a une surface A
\u003d 4π_r_ ^{2, car vous pouvez centrer la sphère sur la charge ponctuelle. C'est un énorme avantage pour résoudre des problèmes comme celui-ci, car vous n'avez alors pas besoin d'intégrer un champ variable à travers la surface; le champ sera symétrique autour de la charge ponctuelle et sera donc constant sur toute la surface de la sphère. Donc la forme intégrale:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {A} \u003d \\ frac {q} {ε_0}}

Peut être exprimée comme:
E × 4πr ^ 2 \u003d \\ frac {q} {ε_0}

Notez que le E
pour le champ électrique a été remplacé par une simple magnitude, car le champ d'une charge ponctuelle se répartira simplement également dans toutes les directions depuis la source. Maintenant, la division par la surface de la sphère donne:
E \u003d \\ frac {q} {4πε_0r ^ 2}

Puisque la force est liée au champ électrique par E
\u003d < em> F
/ q
, où q
est une charge de test, F
\u003d qE
, et ainsi:
F \u003d \\ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}

Où les indices ont été ajoutés pour différencier les deux charges. Il s'agit de la loi de Coulomb énoncée sous forme standard, qui se révèle être une simple conséquence de la loi de Gauss.
Exemples d'équations de Maxwell: loi de Faraday

La loi de Faraday vous permet de calculer la force électromotrice dans une boucle de fil résultant d'un champ magnétique changeant. Un exemple simple est une boucle de fil, de rayon r
\u003d 20 cm, dans un champ magnétique qui augmente en amplitude de B
_{i \u003d 1 T à B
f \u003d 10 T dans l'espace de ∆ t
\u003d 5 s - quelle est la FEM induite dans ce cas? La forme intégrale de la loi implique le flux:
\\ int \\ bm {E ∙} d \\ bm {s} \u003d - \\ frac {∂ \\ phi_B} {∂t}}

qui est défini comme:
ϕ \u003d BA \\ cos (θ)

L'élément clé du problème ici est de trouver le taux de changement de flux, mais comme le problème est assez simple, vous pouvez remplacer la dérivée partielle par un simple «changement de» chacun quantité. Et l'intégrale signifie vraiment juste la force électromotrice, vous pouvez donc réécrire la loi d'induction de Faraday comme:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA \\ cos (θ)} {∆t}

Si nous supposons que la boucle de fil a sa normale alignée avec le champ magnétique, θ
\u003d 0 ° et donc cos ( θ
) \u003d 1. Cela laisse:
\\ text {EMF} \u003d - \\ frac {∆BA} {∆t}

Le problème peut ensuite être résolu en trouvant la différence entre le champ magnétique initial et final et la zone de la boucle, comme suit:
\\ begin {aligné} \\ text {EMF} &\u003d - \\ frac {∆BA} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\\\ &\u003d - \\ frac {(10 \\ text {T} - 1 \\ text {T}) × π × (0,2 \\ text {m}) ^ 2} {5 \\ text {s}} \\\\ &\u003d - 0,23 \\ text {V} \\ end {aligné }

Ce n'est qu'une petite tension, mais la loi de Faraday est appliquée de la même manière.
Exemples d'équations de Maxwell: Loi Ampère-Maxwell

La loi Ampère-Maxwell est la dernière de Les équations de Maxwell que vous devrez appliquer régulièrement. L'équation revient à la loi d'Ampère en l'absence d'un champ électrique changeant, c'est donc l'exemple le plus facile à considérer. Vous pouvez l'utiliser pour dériver l'équation d'un champ magnétique résultant d'un fil droit transportant un courant I
, et cet exemple de base suffit pour montrer comment l'équation est utilisée. La loi complète est:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I + \\ frac {1} {c ^ 2} \\ frac {∂} {∂t} \\ int \\ bm { E ∙} d \\ bm {A}

Mais sans champ électrique changeant, il se réduit à:
\\ int \\ bm {B ∙} d \\ bm {s} \u003d μ_0 I

Maintenant, comme avec Gauss 'loi, si vous choisissez un cercle pour la surface, centré sur la boucle de fil, l'intuition suggère que le champ magnétique résultant sera symétrique, et donc vous pouvez remplacer l'intégrale par un simple produit de la circonférence de la boucle et de la magnétique intensité du champ, laissant:
B × 2πr \u003d μ_0 I

La division par 2π_r_ donne:
B \u003d \\ frac {μ_0 I} {2πr}

Quelle est l'expression acceptée pour le champ magnétique à une distance r
résultant d'un fil droit transportant un courant.
Ondes électromagnétiques

Lorsque Maxwell a assemblé son ensemble d'équations, il a commencé à leur trouver des solutions pour aider à expliquer divers phénomènes dans le monde réel, et la perspicacité qu'il a donné à la lumière est l'un des résultats les plus importants qu'il a obtenus.

B Parce qu'un champ électrique changeant génère un champ magnétique (selon la loi d'Ampère) et un champ magnétique changeant génère un champ électrique (selon la loi de Faraday), Maxwell a déterminé qu'une onde électromagnétique auto-propagée pourrait être possible. Il a utilisé ses équations pour trouver l'équation d'onde qui décrirait une telle onde et a déterminé qu'elle se déplacerait à la vitesse de la lumière. Ce fut un moment «eureka» en quelque sorte; il a réalisé que la lumière est une forme de rayonnement électromagnétique, fonctionnant exactement comme le champ qu'il imaginait!

Une onde électromagnétique se compose d'une onde de champ électrique et d'une onde de champ magnétique oscillant d'avant en arrière, alignées à angle droit avec chacune autre. L'oscillation de la partie électrique de l'onde génère le champ magnétique, et l'oscillation de cette partie à son tour produit à nouveau un champ électrique, tout au long de son voyage dans l'espace.

Comme toute autre onde, une électromagnétique l'onde a une fréquence et une longueur d'onde, et le produit de celles-ci est toujours égal à c
, la vitesse de la lumière. Les ondes électromagnétiques sont tout autour de nous, et en plus de la lumière visible, d'autres longueurs d'onde sont communément appelées ondes radio, micro-ondes, infrarouges, ultraviolets, rayons X et rayons gamma. Toutes ces formes de rayonnement électromagnétique ont la même forme de base que celle expliquée par les équations de Maxwell, mais leurs énergies varient avec la fréquence (c'est-à-dire qu'une fréquence plus élevée signifie une énergie plus élevée).

Donc, pour un physicien, c'était Maxwell qui a dit: "Que la lumière soit!"