Principaux points à retenir

• Les mathématiciens ont découvert une nouvelle forme géométrique appelée "Einstein", un carreau à 13 côtés qui crée un motif de carrelage sans répétition.
• La forme, initialement considérée comme impossible à trouver, a été découverte par David Smith, un « amateur de formes » autoproclamé, qui a nommé sa première découverte « le chapeau ».
• "Le Chapeau" et "La Tortue" font partie d'une famille de tuiles Einstein qui peuvent être créées en ajustant la longueur de leurs côtés, remettant ainsi en question les hypothèses précédentes sur les motifs de mosaïque.

Imaginez un sol de salle de bain recouvert de carrelage noir et blanc. Chaque carreau a la même forme et s’emboîte parfaitement sans espaces ni chevauchements. Vous imaginez probablement des rectangles ou des hexagones. Cela fonctionne, mais imaginez une forme qui créerait un motif qui jamais se répétait, quelle que soit la taille de votre salle de bain. C'est une tuile "Einstein".

Qu’est-ce qu’un Einstein ?

Cela semble improbable ; il est difficile d'imaginer une forme unique qui s'assemble de tant de manières qu'elle crée un motif qui ne se répétera jamais. Mais un groupe de mathématiciens affirme avoir trouvé une telle forme, connue sous le nom de « monotile apériodique » ou Einstein. Einstein est peut-être le nom du scientifique le plus célèbre du XXe siècle, mais c'est aussi l'allemand pour « une pierre », ou même « une forme ».

L’Einstein est une drôle d’idée car les tuiles imbriquées semblent, par définition, être ordonnées. Mais un Einstein est également chaotique :peu importe la façon dont vous les disposez, il ne peut pas créer de modèle périodique.

Il a fallu aux passionnés de géométrie jusque dans les années 1960 pour concevoir ne serait-ce qu'une collection de formes, un « ensemble apériodique », qui pourrait recouvrir un plan bidimensionnel infini d'un motif qui ne se répète jamais. La première de ces collections de formes a été découverte en 1966 :elle se composait de 20 426 carreaux différents.

Entrent David Smith, "le chapeau" et "la tortue"

Au cours de la décennie suivante, les mathématiciens ont peaufiné le concept et ont fait passer le nombre de formes de plusieurs dizaines de milliers à quelques-unes seulement. Mais tout le temps, ils cherchaient The One – une réponse au « problème d’Einstein ». Certains scientifiques travaillaient dur juste pour prouver qu'une telle forme unique n'existait pas.

En novembre 2022, David Smith, un « amateur de formes » autoproclamé de l'East Yorkshire, en Angleterre, a annoncé qu'il avait probablement découvert un Einstein sous la forme d'une tuile à 13 faces qu'il a appelée « le chapeau », car elle ressemble vaguement à un fedora.

Smith, un technicien d'imprimerie à la retraite, passait beaucoup de temps à la maison à découper des formes dans du papier et à les expérimenter. Il connaissait la théorie mathématique derrière ce qu'il faudrait pour trouver Einstein, et un jour il a découvert quelque chose de très prometteur. Il a contacté des informaticiens et un mathématicien qu'il connaissait, et ils ont essayé de le prouver.

En mars 2023, ils ont publié une prépublication, au grand étonnement et à l’enthousiasme des mathématiciens du monde entier. Mais au milieu de cette découverte, Smith trouva un autre Einstein :« la Tortue ».

Il s'avère que "le Chapeau" et "la Tortue" ne sont que deux d'une famille de tuiles Einstein, créées en ajustant la longueur des côtés des formes par rapport à toutes les autres.

Maintenant, c'est intéressant

Les applications utiles les plus probables du chapeau sont la création de matériaux plus solides et les arts.

Questions fréquemment posées

Quel impact la découverte des tuiles Einstein peut-elle avoir sur les applications réelles ?

La découverte des carreaux Einstein pourrait influencer la conception architecturale et la science des matériaux en offrant de nouvelles façons de créer des motifs non répétitifs et esthétiquement agréables pour le carrelage et la décoration.

À quels défis les mathématiciens sont-ils confrontés lorsqu'ils tentent de découvrir de nouvelles formes géométriques comme la tuile d'Einstein ?

Les mathématiciens doivent naviguer dans des cadres théoriques complexes et employer des méthodes informatiques avancées pour explorer les vastes possibilités des formes géométriques, à la recherche de modèles ou de propriétés que personne n'a observés auparavant.