Les mathématiciens ont pour mission de résoudre des problèmes. Au cours de ces tentatives de résolution de problèmes, ils explorent des idées et proposent parfois d’autres problèmes mathématiques à bricoler. Certains de ces problèmes peuvent prendre toute leur carrière à résoudre des générations de mathématiciens, et certains nécessitent l’aide d’un superordinateur. D'autres semblent tout simplement insolubles, même si le consensus général est que nous devrions éventuellement pouvoir résoudre tous les problèmes mathématiques.
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La conjecture de Collatz, ou le « problème 3n+1 », est une conjecture que nous attendons toujours de voir résolue. Introduite en 1937 par le mathématicien allemand Lothar Collatz, la conjecture de Collatz est une question apparemment simple avec une réponse étonnamment insaisissable. La conjecture postule que si vous répétez deux opérations arithmétiques simples, vous finirez par transformer chaque entier positif en nombre un. Le problème est qu’il n’a pas encore été prouvé que cela est vrai pour tous les entiers. Peut-être qu'avec un certain nombre, la séquence galope vers l'infini.
Les mathématiciens ont testé des millions de nombres naturels et personne n’a prouvé le contraire. Mais personne non plus n’a prouvé que c’était exact de manière inconditionnelle. Le légendaire mathématicien hongrois Paul Erdos aurait déclaré :« Les mathématiques ne sont peut-être pas prêtes à affronter de tels problèmes. »
Collatz a formulé sa conjecture deux ans seulement après avoir obtenu son doctorat à l'Université de Berlin. Pour quelqu'un qui a réalisé un travail mathématique si important au cours de sa carrière, il est remarquable qu'il soit connu pour son problème de nouveauté – un problème qui pourrait être testé par un groupe d'élèves de quatrième année. Bien que tous les calculs soutiennent l'idée que la conjecture est vraie, le fait qu'elle soit restée non résolue pendant 86 ans la rend d'autant plus intrigante.
La séquence de Collatz est également appelée séquence « 3n + 1 » car elle est générée en commençant par n'importe quel nombre positif et en suivant seulement deux règles simples :s'il est pair, divisez-le par deux, et s'il est impair, triplez-le et ajoutez-en un. D’où « 3n + 1 ». Suivez ces deux règles encore et encore, et la conjecture dit que, quel que soit le numéro de départ, vous finirez toujours par atteindre le numéro un.
Par exemple, commencez par le chiffre sept. C'est un nombre impair, donc vous lui donnez l'ancien traitement 3n + 1, qui est égal à 22. C'est un nombre pair, ce qui signifie qu'il faut le couper en deux, ce qui nous donne 11. Voici le calcul pour le reste de la séquence :
11 x 3 =33 + 1 =34 34 / 2 =17 17 x 3 =51 + 1 =52 52 / 2 =26 26 / 2 =13 13 x 3 =39 + 1 =40 40 / 2 =20 20 / 2 =10 10 / 2 =5 5 x 3 =15 + 1 =16 16 / 2 =8 8 / 2 =4 4 / 2 =2 2 / 2 =1
Donc, si vous commencez par le chiffre sept, la séquence de Collatz est 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Si vous recommencez à partir du nombre un, un nombre impair, vous multipliez par trois et ajoutez un. À partir de là, vous en obtenez quatre, qui se réduisent rapidement à un. Cela commence la boucle qui ne se termine jamais.
Un autre nom pour les nombres générés dans la conjecture de Collatz est la « séquence de grêlons ». Comme vous pouvez le voir dans la séquence ci-dessus, les chiffres montent et descendent comme des grêlons dans un nuage d'orage, étant soulevés, collectant de la glace et, après être tombés dans une partie inférieure du nuage, soufflés à nouveau vers le haut. À un moment donné, ils tombent au sol. Il y a certains nombres qui, une fois que vous les avez atteints dans vos calculs, chutent le plus rapidement, mais ils finissent tous par tomber à un.
Ainsi, la conjecture de Collatz fonctionne pour des millions et des millions de nombres – tout ce qui a moins de 19 chiffres, au cas où vous envisageriez de tenter votre chance avec quelque chose de plus petit – mais l'un des problèmes que les mathématiciens tentent de résoudre est pourquoi . S'ils comprenaient cela, ils auraient un moyen de dire avec certitude que cela fonctionne sur tous les nombres naturels.
Une chose qui rend la conjecture de Collatz si déroutante est qu’elle implique un nombre infini d’entiers. Même le superordinateur le plus puissant ne peut pas vérifier chaque chiffre pour voir si la conjecture est vraie. Pas encore, du moins.
Ces dernières années, un mathématicien a fait une percée dans la conjecture de Collatz. Terence Tao, l'un des mathématiciens les plus doués du siècle dernier, a publié un article en 2019 intitulé « Presque toutes les orbites de Collatz atteignent des valeurs presque limitées ». Tao n'est pas en reste :il a obtenu son doctorat. Il est diplômé de Princeton à l'âge de 21 ans et est devenu le plus jeune professeur de mathématiques à UCLA à 24 ans. Il a remporté la médaille Fields, la plus haute distinction mathématique de tout le pays, à l'âge de 31 ans. Et pourtant, sa grande nouvelle concernant sa percée chez Collatz contient deux "presque".
Fondamentalement, les résultats de Tao suggèrent une nouvelle méthode pour aborder le problème et notent à quel point il serait rare qu'un nombre s'écarte de la règle de Collatz. Rare, mais pas forcément inexistant.
Et c'est là, mes amis, ce qui s'est le plus rapproché de ceux qui ont réussi ces dernières années à résoudre la conjecture de Collatz. N'oubliez pas que si vous essayez de résoudre le problème vous-même, commencez par des nombres commençant par au moins 20 chiffres.
Maintenant, c'est intéressantLe dernier théorème de Fermat est un problème mathématique resté non résolu pendant 365 ans. Cela a finalement été prouvé en 1995.
