Les humains ont passé les cinq derniers millénaires et demi à inventer plus de 100 façons différentes d’écrire les nombres. N'en déplaise aux chiffres romains, la technique préférée au monde à l'heure actuelle est — de loin — le système décimal moderne. Ses utilisateurs peuvent exprimer n'importe quel nombre entier de leur choix avec seulement 10 petits caractères :0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Cependant, votre ordinateur adopte une autre approche. Les ordinateurs portables, smartphones et autres appareils reposent sur le code binaire. Langage mathématique, le binaire transmet les instructions à ces gadgets de haute technologie. Il indique à votre ordinateur le son de la voix d'un podcasteur, les couleurs qui doivent apparaître dans une vidéo YouTube et le nombre de lettres utilisées dans l'e-mail que votre patron vient d'envoyer.
Le code binaire porte bien son nom. Contrairement au système numérique décimal, il utilise seulement deux chiffres, que les programmeurs appellent « bits ». Habituellement, il y a « 0 » et « 1 ». Et c'est tout. Heureusement, nous allons vous montrer comment convertir un nombre binaire en système décimal plus familier. Ensuite, en bon magicien, nous ferons exactement le contraire, en ramenant la décimale à la valeur binaire.
ContenuComprendre la notation positionnelle est essentiel pour gérer à la fois les systèmes numériques et les conversions. Chaque chiffre joue son rôle dans le calcul, du bit le plus significatif au bit le moins significatif. Techniquement, 0 et 1 sont les seuls bits dont vous avez besoin pour écrire des nombres binaires. Mais pour avoir du sens parmi eux, vous devez comprendre une troisième valeur :2.
Il est préférable d'expliquer cela à titre d'exemple. Le nombre 138 est correctement exprimé en code binaire comme "10001010 " Comment votre ordinateur peut-il déterminer que cette chaîne apparente de charabia signifie "138" ? La programmation fait partie de la réponse. Quelqu'un a informé votre appareil que, dans ce cas, le code binaire épelle un nombre. au lieu d'un mot ou d'une phrase écrite ; il existe une méthode distincte pour décoder ce dernier.
Une fois ce fait fondamental établi, le code fonctionne en attribuant un exposant différent de 2 à chaque bit individuel (c'est-à-dire chaque 0 et chaque 1). Un exposant est une valeur multipliée par elle-même un certain nombre de fois. Donc, 2 à la puissance trois, écrit 2 3 , est 2 x 2 x 2, ce qui équivaut à 8.
Veuillez profiter des puissances suivantes de la liste 2. Faites-nous confiance, vous aurez envie d'y jeter un œil bientôt.
2 =1
2 1 =2
2 2 =4
2 3 =8
2 4 =16
2 5 =32
2 6 =64
2 7 =128
2 8 =256
2 9 =512
2 10 =1024
Revenons maintenant à notre nombre binaire d'origine :10001010. Si l'anglais est votre langue maternelle, préparez-vous, car vous êtes sur le point de lutter contre vos instincts. Vous voyez, l’anglais écrit se lit de gauche à droite. Mais maintenant, il faut décomposer ce nombre binaire en allant dans la direction opposée :de droite à gauche.
Dans tout nombre binaire, le bit le plus à droite doit être multiplié par 2. Ensuite, celui situé immédiatement à gauche est multiplié par 2 1 . . Ensuite, le bit à sa gauche est multiplié par 2 2 . Et ainsi de suite. Vous remarquez un modèle ici ? Les exposants individuels de 2 sont utilisés par ordre croissant, de droite à gauche .
OK, maintenant notre travail consiste à maintenir ce modèle jusqu'à ce que nous ayons fait correspondre un exposant de 2 à chaque bit (chaque 0 et chaque 1) du nombre binaire. Nous nous arrêterons une fois que le dernier bit, celui à l'extrême gauche, aura été multiplié par l'exposant approprié de 2.
Un moyen utile de garder vos chiffres droits consiste à aligner physiquement les exposants sur leurs bits binaires correspondants sur une feuille de papier. Idéalement, cela devrait ressembler à ceci :
Bon produit. Très bien, revenons maintenant à la conversion binaire en décimal. Étant donné que 10001010 contient 8 bits individuels, nous allons résoudre 8 problèmes de multiplication distincts. Commençons par le 0 à l’extrême droite. Qu'est-ce que 0 x 2 ? La bonne réponse est 0.
Un problème en moins, il en reste sept. Déplacez-vous d’un espace vers la gauche. Vous voyez le "1" là-bas ? Eh bien, 1 x 2 1 =2. Déplacez maintenant encore un espace vers la gauche. Cela vous donnera 0 x 2 2 , qui est égal à 0. Si vous continuez à utiliser ce modèle, en passant du chiffre le plus à droite au chiffre le plus à gauche, voici ce que vous constaterez :
0x2 =0
1 x 2 1 =2
0 x 2 2 =0
1 x 2 3 =8
0 x 2 4 =0
0 x 2 5 =0
0 x 2 6 =0
1 x 2 7 =128
Attendez, nous sommes presque sur la ligne d'arrivée ! Prenez les résultats de tous ces problèmes de multiplication et additionnez-les. Ne pas multiplier, ajouter . Malin ? À quoi égale 0 + 2 + 0 + 8 + 0 + 0 + 0 + 128 ?
Avant de répondre à cela, débarrassons-nous de tous ces zéros. Nous n'en avons pas besoin dans un problème supplémentaire. Tout ce que nous avons à faire est de résoudre cette énigme :2 + 8 + 128 = ? Devinez quoi? La réponse finale est 138 . Félicitations, la boucle est bouclée ! Allez faire un tour de victoire.
Notez que 138 est un nombre entier. Il existe une technique pour convertir les nombres à composante fractionnaire, comme 0,25 et 3,14, en binaire. Mais divulgation complète :c’est un peu compliqué. Si cela ne vous dérange pas et que vous souhaitez en savoir plus, l'Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE) propose une méthode de conversion standardisée.
Après avoir remplacé « 10001010 » par « 138 », il est temps d'inverser notre processus. Supposons que vous ayez commencé avec 138 et que vous ayez dû le convertir en binaire. Comment feriez-vous? Une fois de plus, les exposants sont la clé de tout cela.
Jetez un autre œil à notre liste des « pouvoirs de 2 ». Trouver la valeur qui se rapproche le plus de 138 sans la dépasser . Une relecture rapide nous indique que 138 sièges sont entre 256 (soit 2 8 ) et 128 (soit 2 7 ). Maintenant, nous allons soustraire 128 de 138. Voici l'équation :138 - 128 =10
Ensuite, prenez ce 10 et jetez un deuxième coup d’œil à la liste des exposants. La puissance de 2 qui se rapproche le plus de 10 est 2 3 , ou 8. Donc à ce stade, notre travail consiste à soustraire 8 de 10. Comme ceci :10 - 8 =2. Et que savez-vous? Le nombre 2 est égal à 2 1 . Ce processus nous a donné trois chiffres importants :128, 8 et 2. Notre prochain objectif est de les additionner :128 + 8 + 2 =138.
Trouvez un morceau de papier si vous ne l'avez pas déjà fait. Écrivez la valeur de chaque exposant de 2 commençant par "128" (rappelez-vous, cela fait 2 7 ) et "1" (qui équivaut à 2). Faites cela par ordre décroissant de gauche à droite . Et assurez-vous de laisser un peu d'espace entre chaque numéro.
Votre gribouillage devrait ressembler à ceci :128 64 32 16 8 4 2 1. Comme vous pouvez le voir, huit valeurs individuelles sont répertoriées ici. Dessinez une flèche pointant vers le bas (↓) sous chaque valeur. Ensuite, consultez le problème d'addition que nous avons noté ci-dessus, celui qui dit 128 + 8 + 2 =138.
Voyez-vous un « 128 » dans ce problème ? Si oui, écrivez un « 1 » sous la flèche correspondante. Y a-t-il un « 64 » écrit dans l’équation ? Non! Donc, sous cette flèche, nous allons écrire un « 0 ». Gardez le même schéma et vous obtiendrez ceci :
Semble familier? Il nous reste 10001010 – et comme nous l’avons déjà établi, cela signifie « 138 ». Alors voilà. En peu de temps, vous avez appris le système de nombres binaires, l'équivalent décimal et comment effectuer la conversion binaire en décimal. Ensuite, vous avez utilisé le système de nombres décimaux pour revenir à seulement deux chiffres. Notre magicien proverbial a fait disparaître le lapin et l'a ramené. Des carottes partout !
Maintenant c'est drôleLa populaire série comique de science-fiction "Futurama" adore les blagues mathématiques. Dans l'épisode de la saison deux "The Honking", un manoir hanté est légué au robot coquin, Bender Bending Rodriguez. Lorsqu'il entre à l'intérieur, il est terrifié de découvrir un message binaire secret indiquant "1010011010". Peut-être que Bender avait raison d'avoir peur; sous forme décimale, cela se traduit par "666".
