Presque tous les collèges des États-Unis apprennent à leurs élèves à se souvenir de cette simple phrase :« Veuillez excuser ma chère tante Sally. » Mais pourquoi nous excusons-nous pour son comportement ? Est-ce qu'elle portait du blanc après la Fête du Travail ou quelque chose comme ça ?
Le monde pourrait ne jamais le savoir. Très sérieusement, "P bail E excuse M y D oreille A jusqu'à S allié", ou PEMDAS , n'est qu'un mnémonique. C'est un outil que les éducateurs utilisent pour nous aider à mémoriser des informations à travers une comptine, une phrase ou un acronyme accrocheur. Voyons maintenant comment utiliser cet outil pour résoudre des équations.
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PEMDAS est un acronyme et un mnémonique qui représente un ensemble de règles utilisées pour clarifier l'ordre dans lequel les opérations doivent être effectuées pour évaluer correctement les expressions mathématiques. PEMDAS signifie :
Parfois, le mnémonique « BEDMAS » est utilisé, où « B » signifie « crochets » et a le même objectif que « parenthèses ». Les mnémoniques véhiculent essentiellement le même ordre d’opérations pour parvenir à la bonne réponse, mais ils utilisent une terminologie légèrement différente basée sur les préférences régionales. Par exemple, le BEDMAS est plus couramment utilisé au Canada, tandis que le PEMDAS est répandu aux États-Unis.
(Notez que la multiplication et la division ont une priorité égale dans l'ordre des opérations, donc l'ordre inversé dans BEDMAS ne change rien.)
L’ordre des opérations – tel que les Américains le connaissent aujourd’hui – a probablement été officialisé à la fin du XVIIIe siècle. Au XXe siècle, l'outil a gagné en popularité, coïncidant avec l'essor de l'industrie américaine des manuels scolaires.
Dans un e-mail, l'historienne des mathématiques et des sciences Judith Grabiner explique qu'il est préférable de considérer des concepts tels que l'ordre des opérations comme des « conventions, comme le rouge signifie arrêter et le vert signifie partir, et non comme des vérités mathématiques.
"Mais une fois la convention établie", dit-elle, "l'analogie avec les feux de circulation tient :tout le monde doit procéder de la même manière et la 'de la même manière' doit être sans ambiguïté à 100 %."
Les mathématiques et l'ambiguïté font bon ménage.
PEMDAS assure la cohérence des résultats des calculs mathématiques. Fondamentalement, lorsque différentes personnes évaluent la même expression, elles utilisent le même processus et arrivent au même résultat. Si vous ne suivez pas le bon ordre des opérations, vous obtiendrez probablement une mauvaise réponse.
Ignorer ou modifier cet ordre peut conduire à des résultats différents, ce qui peut être particulièrement problématique dans des domaines comme la science, l'ingénierie et la finance, où des calculs précis sont cruciaux.
Supposons que c'est la semaine des examens et que vous deviez résoudre l'équation suivante :
9 – (2 x 3) x 4 + 5² =?Ne pas paniquer. C'est là qu'intervient une certaine tante. Pour chaque mot de la phrase « Veuillez excuser ma chère tante Sally », il y a un terme mathématique correspondant (qui commence par la même lettre) qui nous indique quelle(s) procédure(s) effectuer en premier.
Avant de résoudre l'équation, PEMDAS nous impose de nous poser une question simple :« Y a-t-il des parenthèses ? Si la réponse est « oui », alors notre première démarche devrait être de résoudre ce qu'ils contiennent.
Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, nous voyons "2 x 3 " entre parenthèses. Nous allons donc commencer par multiplier 2 par 3, ce qui nous donne 6. Maintenant, l'équation ressemble à ceci :
9 – 6 x 4 + 5² =?Fèves fraîches. Il est temps de faire venir les exposants ! Sur papier, les exposants prennent la forme d’un petit nombre pressé contre le coin supérieur droit d’un plus grand nombre. Voir les 5² ? Ce tout petit "2" est un exposant.
Ici, le petit deux nous dit de multiplier 5 par lui-même. Et 5 x 5 est égal à 25, ce qui nous donne ceci :
9 – 6 x 4 + 25 =?Maintenant que nous avons réglé les parenthèses et les exposants, passons aux deux opérations suivantes :la multiplication et la division.
Notez que nous ne disons pas que la multiplication vient avant division ici. Pas nécessairement, du moins.
Disons que vous examinez un problème différent qui, à ce stade, contient à la fois un signe de multiplication et un symbole de division. Votre travail consisterait à effectuer les deux opérations dans l'ordre de gauche à droite.
Le concept est mieux expliqué à titre d’exemple. Si l’équation est 8 ÷ 4 x 3, vous diviseriez d’abord le 8 par 4, ce qui vous donnerait 2. Ensuite – et alors seulement – multiplieriez-vous ce 2 par 3. Revenons maintenant à notre problème mathématique habituel :
9 – 6 x 4 + 25 =?Celui qui a écrit l’équation originale a gardé les choses simples et agréables ; il n'y a aucun signe de division en vue et un seul symbole de multiplication. Merci, dieux miséricordieux des examens.
Sans plus attendre, nous allons multiplier le 6 par le 4, ce qui nous donne 24.
9 – 24 + 25 =?Comme pour la multiplication et la division, l’addition et la soustraction font partie de la même étape. Encore une fois, nous effectuons ces deux opérations dans l'ordre, de gauche à droite. Nous allons donc devoir soustraire ce 24 du 9.
Cela nous donnera un nombre négatif, plus précisément -15.
Mais le 25 est un nombre positif. Ainsi, dans sa forme actuelle, l'équation se compose d'un moins 15 plus un plus 25. Et lorsque vous additionnez ces deux, vous obtenez un plus 10.
Tiens voilà. La réponse à notre énigme.
9 – (2 x 3) x 4 + 5² =10Avant de nous séparer, il y a encore quelques choses que vous devez savoir. Vous vous retrouverez peut-être un jour devant une équation complexe avec de nombreuses opérations différentes prises en sandwich entre deux parenthèses. Peut-être quelque chose comme ça :
9 – ((2³ – 3) x 8) ÷ 6 =?Ne vous inquiétez pas. Si vous essayez de résoudre des problèmes mathématiques comportant plusieurs opérations, suivre la séquence PEMDAS garantit des résultats cohérents et précis. Tout ce que vous avez à faire est de suivre le processus PEMDAS entre ces parenthèses avant de passer au reste du problème.
Ici, vous vous occuperiez d'abord de l'exposant (c'est-à-dire le 2³), puis géreriez la soustraction dans cet ensemble de parenthèses avant de passer à la multiplication dans le niveau de parenthèse suivant. Très facile. (Au cas où cela vous intéresserait, la réponse à l'équation est 2 1/3, ou 2,33 si vous préférez les décimales.)
Voici quelques autres conventions et méthodes PEMDAS-eque liées aux expressions arithmétiques :
Cet article a été mis à jour en collaboration avec la technologie de l'IA, puis vérifié et édité par un éditeur HowStuffWorks.
Maintenant, c'est intéressant
Robert Recorde, médecin et mathématicien né au Pays de Galles vers 1510 de notre ère, est considéré comme l'inventeur du signe égal (=). Il a décidé d'utiliser deux lignes parallèles pour ce symbole car, selon ses mots, "aucun 2 thynges ne peut être plus égal [sic]".
