Exemples de simples, singulier, Legendrien, et les nœuds singuliers légendaires. Alors que les nœuds que nous connaissons ont des extrémités libres, les nœuds mathématiques sont formés avec des boucles fermées, comme des élastiques. A) Nœuds simples :le premier et le dernier nœud peuvent être dérivés l'un de l'autre sans casser la ficelle, ils sont donc mathématiquement équivalents. B) Nœuds singuliers :les croisements opposés (l'un formé par la corde droite passant au-dessus de la corde gauche et l'autre inverse) sont appelés points singuliers (étoile). C) Noeuds Legendriens :objets purement mathématiques avec leurs vecteurs tangents contenus dans les plans de contact (représentés en rouge, rose et bleu) sont définis par la géométrie symplectique (de contact). D) Nœuds singuliers légendaires (LSK) :l'objet de cette étude IBS a à la fois des plans de contact et des points singuliers. Crédit : Institut des sciences fondamentales
Des nœuds papillon et des lacets aux voiliers et aux cordes d'escalade, les nœuds ne sont pas seulement très utiles pour notre quotidien, mais aussi pour les mathématiques. Chercheurs IBS du Centre de géométrie et de physique, au sein de l'Institut des sciences fondamentales (IBS) a signalé une nouvelle opération mathématique pour cataloguer un type particulier de nœuds mathématiques, connus sous le nom de nœuds singuliers légendaires. Leur étude, accepté par le Journal of Symplectic Geometry, traite des nœuds qui vont bien au-delà de l'enchevêtrement gênant des fils des écouteurs.
Pourquoi se soucier des nœuds ?
Faire des nœuds parfaits sur les cravates et des nœuds rapides sur les chaussures sont de bonnes compétences à avoir, mais pourquoi les mathématiciens s'intéressent-ils tant aux nœuds ? Il s'avère qu'au-delà d'être une curiosité mathématique intrigante, les nœuds sont aussi à la base de la compréhension de notre univers. De façon intéressante, la classification des nœuds est cruciale pour étudier des espaces 3-D complexes, comme notre univers.
"Personne n'a fait le tour de l'univers, comme Magellan l'a fait sur Terre, donc on ne connait pas sa forme. A part les voyages dans l'espace, les mathématiciens étudient les nœuds pour fournir une liste provisoire de toutes les formes possibles de l'univers, " explique KIM Seonhwa, l'un des auteurs de l'étude.
Son collègue HEE An Byung ajoute :« Il pourrait y avoir un nombre infiniment infini d'espaces 3D possibles. Pour le moment, la forme de certaines parcelles de notre univers sont clarifiées, mais nous manquons la structure globale, c'est là que la théorie des nœuds peut nous aider."
Le défi de classer les nœuds
Depuis des décennies, les mathématiciens ont cherché des preuves rigoureuses pour distinguer et classer les nœuds. En mathématiques, des nœuds d'apparence différente sont en fait équivalents s'ils peuvent être dérivés les uns des autres sans avoir à couper la corde. Plusieurs règles de différenciation des nœuds sont disponibles, mais pour cette étude, Les mathématiciens d'IBS se sont concentrés sur un type particulier de nœuds, appelés nœuds singuliers légendaires (LSK), qui sont beaucoup plus difficiles à classer. Les LSK appartiennent à une branche des mathématiques connue sous le nom de géométrie symplectique, qui est l'un des domaines les plus importants des mathématiques et de la physique modernes.
L'équipe de recherche a mis au point une nouvelle opération, appelée "somme connexe singulière", pour étudier et distinguer les LSK. Comme règles applicables pour classer d'autres types de nœuds, à savoir les nœuds légendaires et les nœuds singuliers, ne fonctionne pas avec les LSK, cette étude représente un pas en avant important dans la théorie des nœuds.
"Il semblait qu'il y avait un grand nombre de situations possibles, rendant les LSK très difficiles à classer. Grâce à cette nouvelle opération et ses propriétés, nous avons démontré que le nombre de possibilités n'est pas aussi horrible qu'il y paraît. Par ailleurs, nous avons fait un exemple qui montre que les LSK sont plus que la combinaison de nœuds légendaires et de nœuds singuliers, " souligne BAE Youngjin, autre mathématicien impliqué dans l'étude.
L'étude est le résultat d'une collaboration entre trois chercheurs impliqués dans différents domaines des mathématiques. Cela s'inscrit dans l'esprit du Centre de géométrie et de physique, qui encourage le croisement de différents axes de recherche. Une analyse plus approfondie de l'opération de somme connectée singulière est déjà en cours. Il vise à explorer des objets encore plus élaborés de la géométrie symplectique; les graphes spatiaux Legendriens, et, espérons-le, nous aider à comprendre les possibilités fascinantes des espaces 3D, y compris notre univers.
