Cette vue partielle de l'ensemble de Mandelbrot, probablement la fractale la plus célèbre au monde, montre l'étape quatre d'une séquence de zoom :L'extrémité centrale de la "queue d'hippocampe" est également un point Misiurewicz. Wolfgang Beyer/(CC BY-SA 3.0) Les fractales sont un paradoxe. Étonnamment simple, pourtant infiniment complexe. Nouveau, mais plus vieux que la saleté. Que sont les fractales ? D'où viennent-ils? Pourquoi devrais-je m'en soucier?
Le mathématicien non conventionnel du 20e siècle Benoit Mandelbrot a créé le terme fractale du mot latin fracturé (signifiant irrégulier ou fragmenté) en 1975. Ces formes irrégulières et fragmentées sont tout autour de nous. À leur plus simple, les fractales sont une expression visuelle d'un motif ou d'une formule répétitive qui commence simplement et devient progressivement plus complexe.
L'une des premières applications des fractales est apparue bien avant même que le terme ne soit utilisé. Lewis Fry Richardson était un mathématicien anglais du début du 20e siècle étudiant la longueur du littoral anglais. Il a expliqué que la longueur d'un littoral dépend de la longueur de l'outil de mesure. Mesurer avec une aune, vous obtenez un numéro, mais mesurer avec une règle plus détaillée d'un pied de long, qui tient davantage compte de l'irrégularité du trait de côte, et vous obtenez un plus grand nombre, etc.
Allez jusqu'à sa conclusion logique et vous vous retrouvez avec un littoral infiniment long contenant un espace fini, le même paradoxe mis en avant par Helge von Koch dans le Koch Snowflake. Cette fractale consiste à prendre un triangle et à transformer le tiers central de chaque segment en une bosse triangulaire de manière à rendre la fractale symétrique. Chaque bosse est, bien sûr, plus long que le segment d'origine, pourtant contient toujours l'espace fini à l'intérieur.
Bizarre, mais plutôt que de converger vers un nombre particulier, le périmètre se déplace vers l'infini. Mandelbrot a vu cela et a utilisé cet exemple pour explorer le concept de dimension fractale, prouver en chemin que la mesure d'un trait de côte est un exercice d'approximation [source :NOVA].
Si les fractales existent vraiment depuis tout ce temps, pourquoi n'en entendons-nous parler qu'au cours des 40 dernières années ?
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Dans l'ensemble de Mandelbrot, les points restant finis à travers toutes les itérations sont affichés en blanc ; les valeurs divergentes à l'infini sont affichées plus sombres. Encyclopédie Britannica/Contributeur/Getty Images Avant d'entrer dans les détails, nous devons couvrir une terminologie de base qui vous aidera à comprendre les qualités uniques que possèdent les fractales.
Toutes les fractales montrent un degré de ce qu'on appelle auto-similarité . Cela signifie que lorsque vous regardez de plus en plus près les détails d'une fractale, vous pouvez voir une réplique de l'ensemble. Une fougère est un exemple classique. Regardez toute la fronde. Vous voyez les branches sortir de la tige principale ? Chacune de ces branches ressemble à la fronde entière. Ils sont auto-similaires à l'original, juste à plus petite échelle.
Ces modèles auto-similaires sont le résultat d'une équation simple, ou énoncé mathématique. Les fractales sont créées en répétant cette équation à travers une boucle de rétroaction dans un processus appelé itération , où les résultats d'une itération forment la valeur d'entrée pour la suivante. Par exemple, si vous regardez l'intérieur d'une coquille de nautile, vous verrez que chaque chambre de la coque est essentiellement une copie conforme de la chambre précédente, juste plus petit que vous les tracez de l'extérieur vers l'intérieur.
Les fractales sont également récursif, quelle que soit l'échelle. Vous êtes déjà entré dans le dressing d'un magasin et vous êtes retrouvé entouré de miroirs ? Pour le meilleur ou pour le pire, vous regardez une image infiniment récursive de vous-même.
Finalement, une note sur la géométrie. La plupart d'entre nous ont grandi en apprenant cette longueur, largeur et hauteur sont les trois dimensions, et c'est ça. La géométrie fractale jette une courbe à ce concept en créant des formes irrégulières dans dimension fractale ; la dimension fractale d'une forme est un moyen de mesurer la complexité de cette forme.
Maintenant prends tout ça, et on voit bien qu'un fractale pure est une forme géométrique qui est auto-similaire par des itérations infinies dans un motif récursif et par des détails infinis. Simple, droit? Ne t'inquiète pas, nous passerons en revue toutes les pièces bien assez tôt.
Katsushika Hokusai a utilisé le concept fractal d'auto-similarité dans sa peinture "La grande vague au large de Kanagawa" au début des années 1800. Domaine public Quand la plupart des gens pensent aux fractales, ils pensent souvent au plus célèbre de tous, l'ensemble de Mandelbrot. Du nom du mathématicien Benoit Mandelbrot, c'est devenu pratiquement synonyme du concept de fractales. Mais c'est loin d'être la seule fractale de la ville.
Nous avons mentionné la fougère plus tôt, qui représente l'une des fractales simples et limitées de la nature. Les fractales limitées ne durent pas indéfiniment; ils n'affichent que quelques itérations de formes congruentes. Les fractales simples et limitées ne sont pas non plus exactes dans leur auto-similitude - les folioles d'une fougère peuvent ne pas imiter parfaitement la forme de la plus grande fronde. La spirale d'un coquillage et les cristaux d'un flocon de neige sont deux autres exemples classiques de ce type de fractale que l'on trouve dans le monde naturel. Bien qu'il ne soit pas mathématiquement exact, ils ont toujours une nature fractale.
Les premiers artistes africains et navajos ont remarqué la beauté de ces motifs récursifs et ont cherché à les imiter dans de nombreux aspects de leur vie quotidienne, dont art et urbanisme [sources :Eglash, balles]. Comme dans la nature, le nombre d'itérations récursives de chaque motif était limité par l'échelle du matériau avec lequel ils travaillaient.
Léonard de Vinci a également vu ce motif dans les branches d'arbres, au fur et à mesure que les branches des arbres grandissaient et se séparaient en plusieurs branches [source :Da Vinci]. En 1820, L'artiste japonais Katsushika Hokusai a créé "La grande vague au large de Kanagawa, " un rendu coloré d'une grande vague océanique dont le sommet se brise en vagues de plus en plus petites (autosimilaires) [source :NOVA].
Les mathématiciens ont fini par s'y mettre aussi. Gaston Julia a eu l'idée d'utiliser une boucle de rétroaction pour produire un motif répétitif au début du 20e siècle. Georg Cantor a expérimenté les propriétés des ensembles récursifs et auto-similaires dans les années 1880, et en 1904 Helge von Koch a publié le concept d'une courbe infinie, utilisant approximativement la même technique mais avec une ligne continue. Et bien sûr, nous avons déjà évoqué Lewis Richardson explorant l'idée de Koch en essayant de mesurer les côtes anglaises.
Ces explorations de mathématiques aussi complexes étaient pour la plupart théoriques, toutefois. Il manquait à l'époque une machine capable d'effectuer le gros travail de tant de calculs mathématiques dans un laps de temps raisonnable pour découvrir où ces idées menaient vraiment. Au fur et à mesure que la puissance des ordinateurs a évolué, il en va de même pour la capacité des mathématiciens à tester ces théories.
Dans la section suivante, nous examinerons les mathématiques derrière la géométrie fractale.
Une fractale d'ensemble de Julia est la frontière de l'ensemble rempli (l'ensemble des « points exceptionnels »). Il existe deux types d'ensembles de Julia :les ensembles connectés (ensemble de Fatou) et les ensembles de Cantor (poussière de Fatou). Encyclopédie Britannica/UIG Via Getty Images
Nous pensons que les montagnes et autres objets du monde réel ont trois dimensions. En géométrie euclidienne, nous attribuons des valeurs à la longueur d'un objet, Hauteur et largeur, et nous calculons des attributs comme la surface, volume et circonférence en fonction de ces valeurs. Mais la plupart des objets ne sont pas uniformes; montagnes, par exemple, ont des bords dentelés. La géométrie fractale nous permet de définir et de mesurer plus précisément la complexité d'une forme en quantifiant la rugosité de sa surface. Les bords déchiquetés de cette montagne peuvent être exprimés mathématiquement :Entrez la dimension fractale, qui par définition est supérieure ou égale à la dimension euclidienne (ou topologique) d'un objet (D => D
Un moyen relativement simple de mesurer cela s'appelle la méthode du comptage de boîtes (ou Dimension de Minkowski-Bouligand). Pour l'essayer, place une fractale sur une feuille de papier quadrillé. Plus la fractale est grande et plus le papier quadrillé est détaillé, plus le calcul des dimensions sera précis.
D =log N / log (1/h)
Dans cette formule, ré est la dimension, N est le nombre de cases de la grille qui contiennent une partie de la fractale à l'intérieur, et h est le nombre de blocs de grille que les fractales couvrent sur le papier millimétré. Cependant, bien que cette méthode soit simple et accessible, ce n'est pas toujours le plus précis.
L'une des méthodes les plus standard pour mesurer les fractales consiste à utiliser la dimension de Hausdorff, qui est D =log N / log s, où N est le nombre de parties qu'une fractale produit à partir de chaque segment, et s est la taille de chaque nouvelle pièce par rapport au segment d'origine. ça a l'air simple, mais selon la fractale, cela peut vite se compliquer.
Vous pouvez produire une variété infinie de fractales simplement en changeant quelques-unes des conditions initiales d'une équation; c'est là qu'intervient la théorie du chaos. En surface, la théorie du chaos ressemble à quelque chose de complètement imprévisible, mais la géométrie fractale consiste à trouver l'ordre dans ce qui semble initialement chaotique. Commencez à compter la multitude de façons dont vous pouvez modifier ces conditions d'équation initiales et vous comprendrez rapidement pourquoi il existe un nombre infini de fractales.
Cependant, vous ne nettoyerez pas le sol avec l'éponge Menger, alors à quoi servent les fractales de toute façon ?
Fractales célèbres et leurs typesCertaines fractales commencent par un segment de ligne ou une structure de base et s'y ajoutent. Une courbe de dragon est faite de cette façon. D'autres sont réducteurs, en commençant par une forme solide et en la soustrayant à plusieurs reprises. Le triangle de Sierpinski et l'éponge de Menger font tous deux partie de ce groupe. Des fractales plus chaotiques forment un troisième groupe, créé à l'aide de formules relativement simples et les représenter graphiquement des millions de fois sur une grille cartésienne ou un plan complexe. Le set de Mandelbrot est la rock star de ce groupe, mais les Attracteurs étranges sont plutôt cool aussi. Ces images sont toutes des expressions de formules mathématiques.
Après que Mandelbrot a publié son ouvrage fondateur en 1975 sur les fractales, l'une des premières utilisations pratiques est apparue en 1978 lorsque Loren Carpenter a voulu faire des montagnes générées par ordinateur. En utilisant des fractales commençant par des triangles, il a créé une chaîne de montagnes étonnamment réaliste [source :NOVA].
Dans les années 1990, Nathan Cohen s'est inspiré du Koch Snowflake pour créer une antenne radio plus compacte en utilisant rien de plus que du fil et une paire de pinces. Aujourd'hui, les antennes des téléphones portables utilisent des fractales telles que l'éponge de Menger, la box fractal et les fractales qui remplissent l'espace comme moyen de maximiser la puissance de réception dans un minimum d'espace [source :Cohen].
Bien que nous n'ayons pas le temps d'examiner toutes les utilisations que les fractales ont pour nous aujourd'hui, quelques autres exemples incluent la biologie, Médicament, modélisation des bassins versants, géophysique, et la météorologie avec formation de nuages et flux d'air [source :NOVA].
Cet article est destiné à vous lancer dans le monde époustouflant de la géométrie fractale. Si vous avez un penchant pour les mathématiques, vous voudrez peut-être explorer ce monde beaucoup plus en utilisant les sources énumérées à la page suivante. Les lecteurs moins enclins aux mathématiques voudront peut-être explorer le potentiel infini de l'art et de la beauté de cette source d'inspiration incroyable et complexe.
Comment faire votre propre fractalePrenez une feuille de papier vierge, et tracez une ligne droite du centre vers le bas. Tracez maintenant deux lignes, la moitié de la longueur du premier, sortant à des angles de 45 degrés depuis le haut de la première ligne, former un Y. Répétez l'opération pour chaque fourche du Y. C'est la première itération de votre fractale. Continuez avec chaque fourchette. À la troisième ou quatrième itération, vous commencerez à comprendre pourquoi la géométrie fractale n'a pas été développée avant l'ère informatique. Félicitations, vous venez de créer une verrière fractale ! Mélangez-le en modifiant légèrement (ou beaucoup) les lignes initiales et voyez ce qui se passe.
Publié à l'origine :26 avril 2011
