Par contributeur

Mis à jour le 30 août 2022

En algèbre, un polynôme premier (également appelé polynôme irréductible) ne peut pas être davantage factorisé sur les entiers. Reconnaître ces polynômes est essentiel avant de déclarer un problème insoluble.

Étape 1 : Rechercher le plus grand facteur commun

Commencez par factoriser tout facteur monôme commun à chaque terme. S'il n'en existe pas, passez à l'étape suivante.

Étape 2 :Appliquer des formules de factorisation spéciales

Testez les identités standards :

• Différence des carrés :a² – b² = (a – b)(a + b)
• Trinômes carrés parfaits :(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Étape 3 :Factoriser un quadratique avec le coefficient 1

Pour un x² + Bx + C quadratique monique , recherchez deux entiers dont le produit est C et la somme est B . Si une telle paire n'existe pas, le polynôme est probablement premier.

Étape 4 :Factoriser un quadratique général

Pour Ax² + Bx + C , calculez le discriminant D = B² – 4AC . Si D n'est pas un carré parfait, le quadratique n'a pas de racines rationnelles et est irréductible sur les entiers.

Étape 5 :Épuiser toutes les possibilités

Ce n'est qu'après avoir vérifié GCF, les formules spéciales et le discriminant que vous pourrez conclure que le polynôme est premier.

Étape 6 :Exemple – x² + 2x + 8

Supposons une factorisation de la forme (x + a)(x + b) . Puis ab = 8 et a + b = 2 . Les paires d'entiers pour 8 sont (1,8) et (2,4), mais aucune ne totalise 2. Le discriminant est 4 – 32 = –28 , pas un carré parfait, confirmant l'irréductibilité.

Étape 7 :déclarer le polynôme premier

Après avoir vérifié qu'aucun facteur commun n'existe et que toutes les méthodes de factorisation standard échouent, vous pouvez affirmer en toute confiance que le polynôme est premier.