Les trois méthodes les plus couramment utilisées pour résoudre les systèmes d'équation sont la substitution, l'élimination et les matrices augmentées. La substitution et l'élimination sont des méthodes simples qui peuvent résoudre efficacement la plupart des systèmes de deux équations en quelques étapes simples. La méthode des matrices augmentées nécessite plus d'étapes, mais son application s'étend à une plus grande variété de systèmes.

Substitution

La substitution est une méthode de résolution de systèmes d'équations en supprimant toutes les variables sauf une dans l'une des équations et ensuite résoudre cette équation. Ceci est obtenu en isolant l'autre variable dans une équation, puis en substituant des valeurs pour ces variables dans une autre équation. Par exemple, pour résoudre le système d'équations x + y = 4, 2x - 3y = 3, isoler la variable x dans la première équation pour obtenir x = 4 - y, puis substituer cette valeur de y dans la deuxième équation pour obtenir 2 (4 - y) - 3y = 3. Cette équation simplifie à -5y = -5, ou y = 1. Branchez cette valeur dans la deuxième équation pour trouver la valeur de x: x + 1 = 4 ou x = 3.

Elimination

L'élimination est une autre façon de résoudre des systèmes d'équations en réécrivant l'une des équations en fonction d'une seule variable. La méthode d'élimination atteint cet objectif en ajoutant ou en soustrayant des équations les unes aux autres afin d'annuler l'une des variables. Par exemple, l'addition des équations x + 2y = 3 et 2x - 2y = 3 donne une nouvelle équation, 3x = 6 (notez que les termes y sont annulés). Le système est ensuite résolu en utilisant les mêmes méthodes que pour la substitution. S'il est impossible d'annuler les variables dans les équations, il sera nécessaire de multiplier l'équation entière par un facteur pour faire coïncider les coefficients.

Matrice augmentée

Les matrices augmentées peuvent aussi être utilisé pour résoudre des systèmes d'équations. La matrice augmentée se compose de lignes pour chaque équation, de colonnes pour chaque variable et d'une colonne augmentée qui contient le terme constant de l'autre côté de l'équation. Par exemple, la matrice augmentée pour le système d'équations 2x + y = 4, 2x - y = 0 est [[2 1], [2 -1] ... [4, 0]].

Déterminer la solution

L'étape suivante consiste à utiliser des opérations de ligne élémentaires telles que la multiplication ou la division d'une ligne par une constante autre que zéro et l'ajout ou la soustraction de lignes. Le but de ces opérations est de convertir la matrice en forme ligne-échelon, où la première entrée non nulle dans chaque ligne est 1, les entrées au-dessus et au-dessous de cette entrée sont toutes des zéros et la première entrée non nulle pour chaque row est toujours à droite de toutes ces entrées dans les lignes au-dessus. Le format ligne-échelon pour la matrice ci-dessus est [[1 0], [0 1] ... [1, 2]]. La valeur de la première variable est donnée par la première ligne (1x + 0y = 1 ou x = 1). La valeur de la deuxième variable est donnée par la deuxième ligne (0x + 1y = 2 ou y = 2).

Applications

La substitution et l'élimination sont des méthodes plus simples de résolution d'équations et sont beaucoup utilisées plus fréquemment que les matrices augmentées en algèbre basique. La méthode de substitution est particulièrement utile lorsque l'une des variables est déjà isolée dans l'une des équations. La méthode d'élimination est utile lorsque le coefficient de l'une des variables est le même (ou son équivalent négatif) dans toutes les équations. Le principal avantage des matrices augmentées est qu'elles peuvent être utilisées pour résoudre des systèmes de trois équations ou plus dans des situations où la substitution et l'élimination sont impossibles ou impossibles.