Le Wronskian est un déterminant formulé par le mathématicien et philosophe polonais J &# xF3, zef Maria Ho &# xEB, ne-Wro &# x144; Il est utilisé pour trouver si deux ou plusieurs fonctions sont linéairement indépendantes. Les fonctions linéairement dépendantes sont des multiples de chacune, alors que les fonctions linéairement indépendantes ne le sont pas. Si le Wronskian est nul à tous les points, ce qui signifie qu'il disparaît partout, alors les fonctions sont linéairement dépendantes. En termes mathématiques, pour deux fonctions f et g, cela signifie que W (f, g) = 0. Si le Wronskian n'est nul qu'en certains points, la dépendance linéaire n'a pas été prouvée. Pour calculer le Wronskian, vous devez savoir comment utiliser les déterminants et comment trouver les dérivées des fonctions.

Utilisez la formule de Wronskian pour deux fonctions, comme indiqué à gauche. Le déterminant est calculé en utilisant la formule W (f, g) = fg '- gf'. Si elle est égale à zéro à toutes les valeurs, les fonctions f et g sont des multiples les unes des autres et dépendent donc linéairement.

Résolvez le Wronskian pour deux fonctions. A titre d'exemple, pour e ^ x et e ^ 2x, le déterminant est comme indiqué sur la gauche. La dérivée pour e ^ x est e ^ x, et la dérivée pour e ^ 2x est 2e ^ 2x. Le Wronskian est e ^ x * 2e ^ 2x - e ^ 2x * e ^ x.

Simplifiez l'expression à l'étape deux. C'est égal à 2e ^ 3x - e ^ 3x. Donc W (e ^ x, e ^ 2x) = e ^ 3x. Puisque ce n'est jamais zéro pour n'importe quelle valeur de x, les deux fonctions sont linéairement indépendantes.

Utilisez le Wronskian pour trois fonctions. Le déterminant des fonctions f, g et h est W (f, g, h) = f (g'h '' - h'g '') - g (f 'h' '- h'f' ' ) + h (f 'g' '- g'f' ').

Résolvez le Wronskian pour trois fonctions. A titre d'exemple, pour 1, x et x ^ 2, le déterminant est comme indiqué sur la gauche. La première dérivée pour 1 est 0, pour x elle est 1, et pour x ^ 2 elle est 2x. Les dérivées secondes sont respectivement 0, 0, 2.

Insérez les valeurs des dérivées première et seconde trouvées à l'étape deux dans le déterminant. Le Wronskian est 1 * (1 * 2 - 0) - 0 + 0. Donc W (1, x, x ^ 2) = 2. Puisque ce n'est jamais 0, les trois fonctions sont linéairement indépendantes.