Un polynôme est une expression qui traite des puissances décroissantes de 'x', comme dans cet exemple: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Quand un polynôme de degré deux ou plus haut est représenté, il produit une courbe. Cette courbe peut changer de direction, où elle commence comme une courbe ascendante, puis atteint un point haut où elle change de direction et devient une courbe descendante. Inversement, la courbe peut décroître jusqu'à un point bas auquel elle inverse la direction et devient une courbe ascendante. Si le degré est assez élevé, il peut y avoir plusieurs de ces tournants. Il peut y avoir autant de points d'inflexion que d'un degré de moins que le degré - la taille du plus grand exposant - du polynôme.

Trouve la dérivée du polynôme. C'est un polynôme plus simple - un degré de moins - qui décrit comment le polynôme original change. La dérivée est nulle lorsque le polynôme d'origine est à un point tournant - le point auquel le graphique n'est ni en augmentation ni en diminution. Les racines de la dérivée sont les endroits où le polynôme original a des points de retournement. Puisque la dérivée a un degré de moins que le polynôme original, il y aura un point de retournement de moins - au plus - que le degré du polynôme original.

Former la dérivée d'un terme polynomial par terme. Le motif est le suivant: bX ^ n devient bnX ^ (n - 1). Appliquez le motif à chaque terme sauf le terme constant. Les dérivés expriment le changement et les constantes ne changent pas, donc la dérivée d'une constante est nulle. Par exemple, les dérivés de X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 sont 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. Le 15 disparaît car la dérivée de 15, ou toute constante, est nulle. La dérivée 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 décrit comment X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 change.

Trouve les points de retournement d'un exemple de polynôme X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Trouver d'abord la dérivée en appliquant le motif terme par terme pour obtenir le polynôme dérivé 3X ^ 2 -12X + 9. Mettre la dérivée à zéro et factoriser pour trouver les racines. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X - 3) (X - 3) = 0. Cela signifie que X = 1 et X = 3 sont des racines de 3X ^ 2 -12X + 9. Cela signifie que le graphique de X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 changera de direction quand X = 1 et quand X = 3.

Astuce

Cela vous fera gagner beaucoup de temps si vous prenez en compte les termes courants avant de commencer la recherche de tournants. Par exemple. le polynôme 3X ^ 2 -12X + 9 a exactement les mêmes racines que X ^ 2 - 4X + 3. Factoriser les 3 simplifie tout.

Avertissement

Le degré de la dérivée donne le nombre maximum de racines. Dans le cas de racines multiples ou de racines complexes, la dérivée mise à zéro peut avoir moins de racines, ce qui signifie que le polynôme d'origine peut ne pas changer de direction autant de fois que vous pourriez vous y attendre. Par exemple, l'équation Y = (X - 1) ^ 3 n'a aucun point tournant.