Il existe une différence importante entre la recherche de l'asymétrie verticale (s) du graphe d'une fonction rationnelle et la recherche d'un trou dans le graphe de cette fonction. Même avec les calculatrices graphiques modernes que nous avons, il est très difficile de voir ou d'identifier qu'il y a un trou dans le graphique. Cet article montrera comment identifier à la fois analytiquement et graphiquement.

Nous utiliserons une fonction rationnelle donnée comme exemple pour montrer analytiquement, comment trouver un asymptote vertical et un trou dans le graphe de cette fonction. Soit la fonction rationnelle, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).

Factoriser le dénominateur de f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). Nous obtenons la fonction équivalente suivante, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Maintenant, si le dénominateur (x-2) (x-3) = 0, la fonction rationnelle sera indéfinie, c'est-à-dire le cas de division par zéro (0). S'il vous plaît voir l'article 'Comment diviser par zéro (0)', écrit par ce même auteur, Z-MATH.

Nous remarquerons que la division par zéro, est indéfini seulement si l'expression rationnelle a un numérateur n'est pas égal à Zéro (0), et le Dénominateur est égal à Zéro (0), dans ce cas le Graphique de la fonction ira sans bornes vers Infini Positif ou Négatif à la valeur de x qui fait que l'expression Dénominateur est égale à Zéro . C'est à ce x que nous dessinons une ligne verticale, appelée l'asymptote verticale.

Maintenant si le numérateur et le dénominateur de l'expression rationnelle sont tous deux à zéro (0), pour la même valeur de x, alors La division par zéro à cette valeur de x est dite «sans signification» ou indéterminée, et nous avons un trou dans le graphe à cette valeur de x.

Donc, dans la fonction rationnelle f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], on voit qu'à x = 2 ou x = 3, le dénominateur est égal à zéro (0). Mais à x = 3, nous remarquons que le numérateur est égal à (1), c'est-à-dire f (3) = 1/0, donc un asymptote vertical à x = 3. Mais à x = 2, nous avons f (2 ) = 0/0, «sans signification». Il y a un trou dans le graphe à x = 2.

On peut trouver les coordonnées du trou en trouvant une fonction rationnelle équivalente à f (x), qui a tous les mêmes points de f (x) sauf au point à x = 2. C'est-à-dire, soit g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, donc en réduisant aux termes les plus bas nous avons g (x) = 1 /(x- 3). En substituant x = 2, dans cette fonction on obtient g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(-1) = -1. donc le trou dans le graphe de f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6) est à (2, -1).