Si vous connaissez deux points qui tombent sur une courbe exponentielle particulière, vous pouvez définir la courbe en résolvant la fonction exponentielle générale en utilisant ces points. En pratique, cela signifie remplacer les points pour y et x dans l'équation y \u003d ab ^{x. La procédure est plus facile si la valeur x pour l'un des points est 0, ce qui signifie que le point est sur l'axe y. Si aucun point n'a une valeur x nulle, le processus de résolution de x et y est un peu plus compliqué.
Pourquoi les fonctions exponentielles sont importantes}

De nombreux systèmes importants suivent des modèles exponentiels de croissance et de décroissance. Par exemple, le nombre de bactéries dans une colonie augmente généralement de façon exponentielle, et le rayonnement ambiant dans l'atmosphère à la suite d'un événement nucléaire diminue généralement de façon exponentielle. En prenant des données et en traçant une courbe, les scientifiques sont mieux placés pour faire des prédictions.
D'une paire de points à un graphique

Tout point d'un graphique à deux dimensions peut être représenté par deux nombres, qui sont généralement écrites sous la forme (x, y), où x définit la distance horizontale par rapport à l'origine et y représente la distance verticale. Par exemple, le point (2, 3) est à deux unités à droite de l'axe des y et à trois unités au-dessus de l'axe des x. En revanche, le point (-2, -3) est à deux unités à gauche de l'axe des y. et trois unités sous l'axe des x.

Si vous avez deux points, (x _{1, y 1) et (x 2, y 2), vous peut définir la fonction exponentielle qui passe par ces points en les substituant dans l'équation y \u003d ab ^{x et en résolvant a et b. En général, vous devez résoudre cette paire d'équations:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 et y 2 \u003d ab x2,.}}

In sous cette forme, le calcul semble un peu compliqué, mais il l'est moins après avoir fait quelques exemples.
Un point sur l'axe X

Si l'une des valeurs x - disons x _{1 - vaut 0, l'opération devient très simple. Par exemple, la résolution de l'équation pour les points (0, 2) et (2, 4) donne:}

2 \u003d ab ^{0 et 4 \u003d ab 2. Puisque nous savons que b 0 \u003d 1, la première équation devient 2 \u003d a. La substitution de a dans la deuxième équation donne 4 \u003d 2b 2, que nous simplifions en b 2 \u003d 2, ou b \u003d racine carrée de 2, ce qui équivaut à environ 1,41. La fonction de définition est alors y \u003d 2 (1.41) x.
Aucun des deux points sur l'axe X}

Si aucune des valeurs x n'est nulle, la résolution de la paire d'équations est légèrement plus compliquée. Henochmath nous guide à travers un exemple simple pour clarifier cette procédure. Dans son exemple, il a choisi la paire de points (2, 3) et (4, 27). Cela donne la paire d'équations suivante:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Si vous divisez la première équation par la seconde, vous obtenez

9 \u003d b ²

donc b \u003d 3. Il est possible que b soit également égal à -3, mais dans ce cas, supposez qu'il est positif.

Vous pouvez remplacer cette valeur par b dans l'une ou l'autre équation pour obtenir a. Il est plus facile d'utiliser la deuxième équation, donc:

3 \u003d a (3) ^{2 qui peut être simplifié en 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 ou 1/3.}

L'équation qui passe par ces points peut s'écrire y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Un exemple du monde réel}

Depuis 1910, la croissance de la population humaine est exponentielle, et en traçant une courbe de croissance, les scientifiques sont mieux placés pour prévoir et planifier l'avenir. En 1910, la population mondiale était de 1,75 milliard et en 2010, elle était de 6,87 milliards. En prenant 1910 comme point de départ, cela donne la paire de points (0, 1,75) et (100, 6,87). Comme la valeur x du premier point est zéro, nous pouvons facilement trouver a.

1,75 \u003d ab ^{0 ou a \u003d 1,75. Le fait de brancher cette valeur, ainsi que celles du deuxième point, dans l'équation exponentielle générale produit 6,87 \u003d 1,75b 100, ce qui donne la valeur de b comme centième racine de 6,87 /1,75 ou 3,93. Ainsi, l'équation devient y \u003d 1,75 (centième racine de 3,93) x. Bien qu'il faille plus qu'une règle à calcul pour le faire, les scientifiques peuvent utiliser cette équation pour projeter les futurs chiffres de population afin d'aider les politiciens du moment à créer des politiques appropriées.}