Le 20 mars, Le mathématicien américano-canadien Robert Langlands a reçu le prix Abel, célébrer les réalisations de toute une vie en mathématiques. Les recherches de Langlands ont démontré comment les concepts de la géométrie, algèbre et analyse pourraient être réunies par un lien commun aux nombres premiers.

Lorsque le roi de Norvège remet le prix à Langlands en mai, il honorera le dernier d'un 2, 300 ans d'efforts pour comprendre les nombres premiers, sans doute le plus grand et le plus ancien ensemble de données en mathématiques.

En tant que mathématicien dévoué à ce « programme de Langlands, " Je suis fasciné par l'histoire des nombres premiers et par la façon dont les avancées récentes dévoilent leurs secrets. Pourquoi captivent-elles les mathématiciens depuis des millénaires ?

Comment trouver des nombres premiers

Pour étudier les nombres premiers, les mathématiciens font passer des nombres entiers à travers un maillage virtuel après l'autre jusqu'à ce qu'il ne reste que des nombres premiers. Ce processus de tamisage a produit des tables de millions de nombres premiers dans les années 1800. Il permet aux ordinateurs d'aujourd'hui de trouver des milliards de nombres premiers en moins d'une seconde. Mais l'idée de base du tamis n'a pas changé depuis plus de 2 ans, 000 ans.

"Un nombre premier est celui qui se mesure par l'unité seule, " Le mathématicien Euclide a écrit en 300 av. les mathématiciens ne comptent pas 1 lui-même comme nombre premier.

Euclide a prouvé l'infinité des nombres premiers - ils durent pour toujours - mais l'histoire suggère que c'est Eratosthène qui nous a donné le tamis pour lister rapidement les nombres premiers.

Voici l'idée du tamis. D'abord, filtrer les multiples de 2, puis 3, puis 5, puis 7 - les quatre premiers nombres premiers. Si vous faites cela avec tous les nombres de 2 à 100, il ne restera que les nombres premiers.

Avec huit étapes de filtrage, on peut isoler les nombres premiers jusqu'à 400. Avec 168 étapes de filtrage, on peut isoler les nombres premiers jusqu'à 1 million. C'est le pouvoir du crible d'Eratosthène.

Tableaux et tableaux

Un des premiers chiffres de la tabulation des nombres premiers est John Pell, un mathématicien anglais qui s'est consacré à la création de tableaux de nombres utiles. Il était motivé pour résoudre les anciens problèmes d'arithmétique de Diophante, mais aussi par une quête personnelle d'organisation des vérités mathématiques. Grâce à ses efforts, les nombres premiers jusqu'à 100, 000 ont été largement diffusés au début des années 1700. Vers 1800, des projets indépendants avaient totalisé les primes jusqu'à 1 million.

Pour automatiser les étapes fastidieuses de tamisage, un mathématicien allemand du nom de Carl Friedrich Hindenburg a utilisé des curseurs réglables pour supprimer des multiples sur une page entière d'un tableau à la fois. Une autre approche low-tech mais efficace a utilisé des pochoirs pour localiser les multiples. Au milieu des années 1800, le mathématicien Jakob Kulik s'était lancé dans un projet ambitieux pour trouver tous les nombres premiers jusqu'à 100 millions.

Ce "big data" des années 1800 n'aurait peut-être servi que de table de référence, si Carl Friedrich Gauss n'avait pas décidé d'analyser les nombres premiers pour eux-mêmes. Armé d'une liste de nombres premiers jusqu'à 3 millions, Gauss a commencé à les compter, un "chiliad", " ou groupe de 1000 unités, à la fois. Il a compté les nombres premiers jusqu'à 1, 000, alors les nombres premiers entre 1, 000 et 2, 000, puis entre 2, 000 et 3, 000 et ainsi de suite.

Gauss a découvert que, comme il comptait plus haut, les nombres premiers deviennent progressivement moins fréquents selon une loi « inverse-log ». La loi de Gauss ne montre pas exactement combien il y a de nombres premiers, mais cela donne une assez bonne estimation. Par exemple, sa loi prédit 72 nombres premiers entre 1, 000, 000 et 1, 001, 000. Le nombre correct est de 75 nombres premiers, environ une erreur de 4 pour cent.

Un siècle après les premières explorations de Gauss, sa loi a été prouvée dans le "théorème des nombres premiers". Le pourcentage d'erreur s'approche de zéro pour des plages de nombres premiers de plus en plus grandes. L'hypothèse de Riemann, un problème de prix d'un million de dollars aujourd'hui, décrit également à quel point l'estimation de Gauss est vraiment précise.

Le théorème des nombres premiers et l'hypothèse de Riemann attirent l'attention et l'argent, mais les deux ont suivi plus tôt, analyse de données moins glamour.

Les premiers mystères modernes

Aujourd'hui, nos jeux de données proviennent de programmes informatiques plutôt que de pochoirs découpés à la main, mais les mathématiciens trouvent encore de nouveaux modèles dans les nombres premiers.

Sauf pour 2 et 5, tous les nombres premiers se terminent par le chiffre 1, 3, 7 ou 9. Dans les années 1800, il a été prouvé que ces derniers chiffres possibles sont également fréquents. En d'autres termes, si vous regardez les nombres premiers jusqu'à un million, environ 25 pour cent finissent en 1, 25 pour cent finissent par 3, 25 pour cent se terminent par 7, et 25 pour cent se terminent par 9.

Il y a quelques années, Les théoriciens des nombres de Stanford Lemke Oliver et Kannan Soundararajan ont été pris au dépourvu par des bizarreries dans les derniers chiffres des nombres premiers. Une expérience a regardé le dernier chiffre d'un nombre premier, ainsi que le dernier chiffre du tout prochain premier. Par exemple, le prochain premier après 23 est 29 :on voit un 3 puis un 9 dans leurs derniers chiffres. En voit-on 3 puis 9 plus souvent que 3 puis 7, parmi les derniers chiffres des nombres premiers ?

Les théoriciens des nombres s'attendaient à une certaine variation, mais ce qu'ils ont trouvé a largement dépassé les attentes. Les nombres premiers sont séparés par différents espaces; par exemple, 23 est à six nombres de 29. Mais les nombres premiers à 3 puis à 9 comme 23 et 29 sont beaucoup plus courants que les nombres à 7 puis à 3, même si les deux viennent d'un écart de six.

Les mathématiciens ont rapidement trouvé une explication plausible. Mais, lorsqu'il s'agit d'étudier les nombres premiers successifs, les mathématiciens sont (pour la plupart) limités à l'analyse des données et à la persuasion. Les preuves – l'étalon-or des mathématiciens pour expliquer pourquoi les choses sont vraies – semblent dans des décennies.

Cet article a été initialement publié sur The Conversation. Lire l'article original.