Beaucoup d'élèves ont de la difficulté à trouver la distance entre deux points sur une ligne droite, c'est plus difficile pour eux lorsqu'ils doivent trouver la distance entre deux points le long d'une courbe. Cet article, au moyen d'un exemple de problème montrera comment trouver cette distance.

Pour trouver la distance entre deux points A (x1, y1) et B (x2, y2) sur une ligne droite sur le xy-plan, nous utilisons la formule de distance, qui est ... d (AB) = √ [(x1-y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Nous allons maintenant montrer comment cette formule fonctionne par un exemple de problème. Cliquez sur l'image pour voir comment cela est fait.

Maintenant nous allons trouver la distance entre deux points A et B sur une courbe définie par une fonction f (x) sur un intervalle fermé [a, b] . Pour trouver cette distance, nous devons utiliser la formule s = L'intégrale, entre la limite inférieure, a, et la limite supérieure, b, de l'intégrande √ (1 + [f '(x)] ^ 2) par rapport à la variable de intégration, dx. Veuillez cliquer sur l'image pour une meilleure vue.

La fonction que nous allons utiliser comme exemple de problème, sur l'intervalle fermé, [1,3], est ... f (x) = (1 /2) [(x + 4) √ [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + √ [(x + 4) ^ 2-1]]]. la dérivée de cette fonction, est ... f '(x) = √ [(x + 4) ^ 2-1], nous allons maintenant cadrer les deux côtés de la fonction de la dérivée. C'est [f '(x)] ^ 2 = [√ [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, ce qui nous donne [f' (x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Nous remplaçons maintenant cette expression par la formule de longueur d'arc /Integral de, s. Puis intégrez.

Veuillez cliquer sur l'image pour une meilleure compréhension.

Alors par substitution, on a: s = L'intégrale, entre la limite inférieure, 1, et la limite supérieure , 3, de l'intégrande √ (1 + [f '(x)] ^ 2) = l'intégrande √ (1 + (x + 4) ^ 2 - 1). qui est égal à √ ((x + 4) ^ 2). En effectuant l'antidériver sur cet Integrand, et par le théorème fondamental du calcul, nous obtenons ... {[(x ^ 2) /2] + 4x} dans lequel nous remplaçons d'abord la limite supérieure, 3, et à partir de ce résultat, Nous soustrayons le résultat de la substitution de la limite inférieure, 1. C'est {[(3 ^ 2) /2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) /2] + 4 (1)} est égal à {[(9/2) + 12]} - {[(1/2) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} qui est égal à (24/2) = 12. Ainsi, la distance Arclength /distance de la fonction /courbe sur l'intervalle [1,3] est de 12 unités.