Puisque la température diminue, on peut écrire l’équation différentielle :

$$\begin{align}\frac{dT}{dt} =k(T-5) \end{align}$$

où k est une constante positive.

En séparant les variables et en intégrant, on obtient :

$$\begin{align} \frac{1}{T-5}dT =kdt\end{align}$$

$$\ln |T-5|=kt+C_1$$

$$T-5=Ce^{kt} $$

$$T=Ce^{kt}+5 $$

En utilisant la condition initiale \(T(0)=20\), on trouve que \(C=15\)

Par conséquent, la solution de l’équation différentielle (1) est

$$T(t)=15e^{kt}+5$$

En utilisant l’autre condition donnée \(T(1)=12\), nous trouvons que

$$12=15e^k+5$$

$$e^k=\frac{7}{10} \donc $$

$$k=\ln\frac{7}{10} $$

Ainsi la solution de l’équation différentielle (1) devient :

$$\boxed{T(t)=15 e^{\left ( \ln \frac{7}{10} \right ) t} +5 }$$

En mettant \(T=6\), on obtient finalement

$$6=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}+5$$

$$1=15e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$\frac{1}{15}=e^{(\ln \frac{7}{10})t}$$

$$(\frac{1}{15})^{\frac{1}{\ln \frac{7}{10}}} =t $$

$$t=\frac{\ln{\frac{1}{15}}}{\ln \frac{7}{10}}$$

$$t=\frac{\ln 1-\ln15}{ \ln7-\ln 10} \approx 1,23\text{minutes}$$

Par conséquent, il faudra environ 1,23 minute pour que le thermomètre indique C.