Contrairement à un triangle équilatéral avec ses trois côtés et angles égaux, un triangle isocèle avec ses deux côtés égaux, ou un triangle rectangle avec son angle de 90 degrés, un triangle scalène a trois côtés de longueurs aléatoires et trois angles aléatoires. Si vous voulez connaître sa zone, vous devez faire quelques mesures. Si vous pouvez mesurer la longueur d'un côté et la distance perpendiculaire de ce côté à l'angle opposé, vous avez suffisamment d'informations pour calculer la surface. Il est également possible de calculer la superficie si vous connaissez les longueurs des trois côtés. Déterminer la valeur de l'un des angles ainsi que la longueur des deux côtés qui le composent vous permet également de calculer la surface.

TL; DR (Trop long; Pas lu)

L'aire d'un triangle scalène de base b et de hauteur h est donnée par 1/2 bh. Si vous connaissez les longueurs des trois côtés, vous pouvez calculer la surface en utilisant la formule de Héron sans avoir à trouver la hauteur. Si vous connaissez la valeur d'un angle et les longueurs des deux côtés qui le forment, vous pouvez trouver la longueur du troisième côté en utilisant la loi des cosinus et ensuite utiliser la formule de Heron pour calculer la superficie.

Formule générale pour trouver une zone

Considérons un triangle aléatoire. Il est possible de tracer un rectangle autour de celui-ci qui utilise l'un des côtés comme base (peu importe lequel) et touche juste le sommet du troisième angle. La longueur de ce rectangle est égale à la longueur du côté du triangle qui le forme, appelée base (b). Sa largeur est égale à la distance perpendiculaire de la base au sommet, appelée hauteur (h) du triangle.

La surface du rectangle que vous venez de dessiner est égale à b ⋅ h. Cependant, si vous examinez les lignes du triangle, vous verrez qu'elles divisent la paire de rectangles créée par la ligne perpendiculaire de la base au sommet exactement en deux. Ainsi, la zone à l'intérieur du triangle est exactement la moitié de celle à l'extérieur, ou 1/2 bh. Pour tout triangle:

Zone = 1/2 base ⋅ hauteur

Formule du Héron

Les mathématiciens ont su calculer l'aire d'un triangle à trois côtés connus depuis des millénaires. Ils utilisent la formule de Héron, nommé d'après Héros d'Alexandrie. Pour utiliser cette formule, vous devez d'abord trouver le demi-périmètre (s) du triangle, ce que vous faites en ajoutant les trois côtés et en divisant le résultat par deux. Pour un triangle de côtés a, b et c, le demi-périmètre s = 1/2 (a + b + c). Une fois que vous connaissez s, vous calculez la surface en utilisant cette formule:

Area = racine carrée [s (s - a) (s - b) (s - c)]

En utilisant la loi de Cosinus

Considérons un triangle avec trois angles A, B et C. Les longueurs des trois côtés sont a, b et c. Le côté a est l'angle opposé A, le côté b est l'angle opposé B et le côté c est l'angle opposé C. Si vous connaissez l'un des angles - par exemple, l'angle C - et les deux côtés qui le forment - dans ce cas, a et b - vous pouvez calculer la longueur du troisième côté en utilisant cette formule:

c ^{2 = a 2 + b 2 - 2ab cos (C)}

Une fois que vous connaissez la valeur de c, vous pouvez calculer la surface en utilisant la formule de Heron.