Recherche menée par l'Université Queen Mary de Londres, propose un nouveau modèle de Kuramoto « d'ordre supérieur » qui combine la topologie avec des systèmes dynamiques et caractérise pour la première fois la synchronisation dans les réseaux d'ordre supérieur.

Comme un orchestre jouant dans le temps sans chef, les éléments d'un système complexe peuvent naturellement se synchroniser entre eux. Ce phénomène collectif, connu sous le nom de synchronisation, se produit dans toute la nature, des neurones tirant ensemble dans le cerveau aux lucioles clignotant à l'unisson dans l'obscurité.

Le modèle de Kuramoto est utilisé pour étudier la synchronisation observée dans les systèmes complexes. Les systèmes complexes sont souvent représentés mathématiquement par des réseaux, où les composants du système sont représentés sous forme de nœuds, et les liens entre les nœuds montrent les interactions entre eux.

La plupart des études de synchronisation se sont concentrées sur les réseaux, où les nœuds hébergent des oscillateurs dynamiques qui se comportent comme des horloges, et s'accoupler avec leurs voisins le long des maillons du réseau. Cependant, la grande majorité des systèmes complexes ont une structure plus riche que les réseaux et incluent des interactions « d'ordre supérieur » qui se produisent entre plus de deux nœuds. Ces réseaux d'ordre supérieur sont appelés complexes simpliciaux et ont été largement étudiés par les mathématiciens travaillant en topologie discrète.

Maintenant, recherches menées par le professeur Ginestra Bianconi, Professeur de mathématiques appliquées à l'Université Queen Mary de Londres, propose un nouveau modèle de Kuramoto « d'ordre supérieur » qui combine la topologie avec des systèmes dynamiques et caractérise pour la première fois la synchronisation dans les réseaux d'ordre supérieur.

L'étude a révélé que la synchronisation d'ordre supérieur se produit brusquement, d'une manière "explosive", qui diffère du modèle standard de Kuramoto où la synchronisation se fait progressivement.

Le mathématicien Christiaan Huygens a identifié la synchronisation pour la première fois en 1665 lorsqu'il a observé que deux horloges à pendule suspendues à la même poutre en bois oscillaient en rythme l'une avec l'autre. Cependant, ce n'est qu'en 1974 qu'un modèle mathématique simple pour décrire ce phénomène collectif a été proposé par le physicien japonais Yoshiki Kuramoto.

Le modèle de Kuramoto capture la synchronisation dans un grand réseau où chaque nœud héberge un oscillateur semblable à une horloge, qui est couplé à d'autres oscillateurs sur des nœuds voisins. En l'absence de liaisons entre les nœuds, chaque oscillateur obéit à sa propre dynamique et n'est pas affecté par ses voisins. Cependant, lorsque l'interaction entre les nœuds voisins passe au-dessus d'une valeur donnée, les oscillateurs commencent à battre à la même fréquence.

Alors que le modèle de Kuramoto décrit la synchronisation de la dynamique associée aux nœuds d'un réseau dans des complexes simpliciaux d'objets d'ordre supérieur dans le réseau, tels que des liens ou des triangles, peuvent également présenter des signaux dynamiques ou « topologiques » tels que des flux.

Dans la nouvelle étude, les chercheurs proposent un modèle de Kuramoto d'ordre supérieur qui peut décrire la synchronisation de ces signaux topologiques. En tant que signaux topologiques, tels que les flux, peuvent être trouvés dans le cerveau et dans les réseaux de transport biologique, les chercheurs suggèrent que ce nouveau modèle pourrait révéler une synchronisation d'ordre supérieur qui était auparavant passée inaperçue.

Professeur Bianconi, auteur principal de l'étude, a déclaré:"Nous avons combiné la théorie de Hodge, une branche importante de la topologie, avec la théorie des systèmes dynamiques pour faire la lumière sur la synchronisation d'ordre supérieur. Avec notre cadre théorique nous pouvons traiter la synchronisation des signaux dynamiques topologiques associés aux liens, comme des flux, ou à des triangles ou à d'autres blocs de construction d'ordre supérieur de réseaux d'ordre supérieur. Ces signaux peuvent subir une synchronisation, mais cette synchronisation peut passer inaperçue si les transformations topologiques correctes ne sont pas effectuées. Ce que nous proposons ici est l'équivalent d'une transformée de Fourier pour des signaux topologiques qui peuvent révéler cette transition dans des systèmes réels comme le cerveau".

La transition discontinue trouvée par l'étude suggère également que le phénomène de synchronisation est non seulement spontané mais émerge brusquement, révélant comment la topologie peut induire des changements spectaculaires de la dynamique au début de la transition de synchronisation.