Les mathématiciens du NUS ont développé des méthodes efficaces pour étudier des paysages énergétiques complexes et des événements activés thermiquement. De nombreux problèmes découlant des sciences appliquées peuvent être formulés de manière abstraite comme un système naviguant dans un paysage énergétique complexe. Des exemples bien connus incluent les changements de conformation des biomolécules, réactions chimiques, événements de nucléation lors des transitions de phase, etc. La dynamique procède par de longues périodes d'attente autour d'états métastables suivies de sauts brusques ou de transitions d'un état à un autre.

Ces événements de transition se produisent rarement en raison de la présence de barrières énergétiques entre les états métastables, par conséquent, ils sont appelés événements rares. Lorsque les événements rares se produisent, elles surviennent généralement assez rapidement et ont des conséquences importantes. Généralement, une petite quantité de bruit est présente dans le système et c'est ce qui entraîne ces événements rares.

L'objectif dans l'étude des événements rares n'est pas de garder une trace de la dynamique détaillée du système mais plutôt de capturer statistiquement la séquence de transitions entre différents états métastables. Par conséquent, les principaux objets à calculer sont les chemins de transition et les taux de transition. Le calcul de ces quantités représente l'un des défis majeurs de la science informatique. La difficulté est principalement due à la disparité des échelles de temps impliquées dans la dynamique, ce qui rend les méthodes de simulation conventionnelles prohibitives. En effet, il faut en moyenne un très grand nombre de pas de temps pour observer un événement de transition dans ces simulations.

Dans les dernières années, Prof Weiqing REN, du Département de Mathématiques, NUS et ses collaborateurs ont développé une méthode numérique efficace, appelé la méthode de chaîne, pour l'étude de paysages énergétiques complexes et d'événements rares induits par le bruit. L'idée est de faire évoluer une chaîne, qui est une courbe paramétrée par sa longueur d'arc, dans l'espace du chemin par la dynamique de descente la plus raide. Une fois que la dynamique atteint l'état d'équilibre, la corde converge vers le chemin d'énergie minimum, c'est-à-dire le chemin de transition du maximum de vraisemblance, et localise l'état de transition et les barrières énergétiques.

La méthode des cordes a été appliquée avec succès à de nombreux systèmes dans différentes disciplines, par exemple. la commutation de micro magnétisme, changements de conformation des bio-molécules, dynamique de dislocation dans les solides cristallins, la transition de mouillage sur surface solide modelée de microstructures, etc. Récemment, la méthode a été utilisée pour étudier la transition de phase isotrope-nématique dans les cristaux liquides. En phase isotrope, les particules dans le cristal liquide sont entassées de manière aléatoire. En revanche, les particules sont bien ordonnées dans la phase nématique (figure 1). La transition de phase isotrope-nématique est un événement rare car elle implique le franchissement de barrières énergétiques. Dans ce travail, Le professeur Ren et son étudiant ont étudié la transition de phase isotrope-nématique dans un espace à gros grains formé par deux variables collectives. Ils ont calculé le chemin d'énergie libre minimum en utilisant la méthode des cordes et ont étudié la structure de l'état de transition. Leurs résultats ont révélé la structure multicouche du noyau critique (Figure 2). Le noyau se développe davantage et évolue vers la phase nématique après avoir franchi la barrière énergétique.

Dans le futur, les chercheurs ont l'intention d'étudier le problème avec des variables collectives supplémentaires incluses dans l'espace à gros grains. "Cela aidera à mieux quantifier la structure de l'état de transition au niveau microscopique, " a déclaré le professeur Ren.