En algèbre linéaire, le déterminant d'une matrice carrée est une valeur scalaire qui fournit des informations sur les propriétés et le comportement de la matrice. Il est indiqué par det (a) ou | a | , où a est la matrice.

Propriétés des déterminants:

* Multiplication scalaire: Le déterminant d'un multiple scalaire d'une matrice est égal au scalaire élevé à la puissance de l'ordre de la matrice multiplié par le déterminant de la matrice d'origine:DET (ka) =k ^ n det (a), où n est l'ordre de la matrice.

* Transpose: Le déterminant d'une matrice est égal au déterminant de sa transposition:DET (A) =DET (A ^ T).

* opérations de ligne / colonne: Les opérations de ligne ou de colonne élémentaires sur une matrice affectent le déterminant comme suit:

* L'échange de deux lignes / colonnes modifie le signe du déterminant.

* La multiplication d'une ligne / colonne par un scalaire multiplie le déterminant par ce scalaire.

* L'ajout d'un multiple d'une ligne / colonne à une autre ligne / colonne ne modifie pas le déterminant.

* matrices invertibles: Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant n'est pas nul.

* Dépendance linéaire: Si les lignes ou les colonnes d'une matrice dépendent linéairement, son déterminant est nul.

Calcul des déterminants:

* pour les matrices 2x2:

DET ([[A, B], [C, D]]) =AD - BC

* pour les matrices 3x3:

DET ([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]) =a (ei - fh) - b (di - fg) + c (dh - eg)

* pour les matrices plus grandes:

Les déterminants des matrices plus grandes peuvent être calculés en utilisant diverses méthodes, telles que l'expansion du cofacteur, l'élimination gaussienne ou l'utilisation d'algorithmes spécialisés.

Applications des déterminants:

* Résolution d'équations linéaires: Les déterminants sont utilisés dans la règle de Cramer pour résoudre les systèmes d'équations linéaires.

* Trouver des valeurs propres: Des déterminants sont utilisés pour trouver les valeurs propres d'une matrice.

* Calcul des zones et volumes: Les déterminants peuvent être utilisés pour calculer la zone d'un parallélogramme et le volume d'un parallélépipé.

* Transformations géométriques: Des déterminants sont utilisés en géométrie pour représenter le facteur d'échelle des transformations linéaires.

Exemple:

Considérez la matrice A =[[2, 1], [3, 4]].

Le déterminant de A est:

DET (A) =(2 * 4) - (1 * 3) =8 - 3 =5.

Étant donné que le déterminant n'est pas nul, la matrice A est inversible.