Il est parfois nécessaire de trouver un vecteur non nul qui, multiplié par une matrice carrée, nous redonnera un multiple du vecteur. Ce vecteur non nul s'appelle un "vecteur propre". Les vecteurs propres ne sont pas seulement intéressants pour les mathématiciens, mais pour d'autres dans des professions telles que la physique et l'ingénierie. Pour les calculer, vous aurez besoin de comprendre l'algèbre matricielle et les déterminants.
Apprenez et comprenez la définition d'un "vecteur propre". On le trouve pour une matrice carrée n x n et aussi une valeur propre scalaire appelée "lambda". Lambda est représentée par la lettre grecque, mais ici nous l'abrégerons en L. S'il existe un vecteur non nul x où Ax = Lx, ce vecteur x est appelé une "valeur propre de A."
Trouver les valeurs propres de la matrice en utilisant l'équation caractéristique det (A - LI) = 0. "Det" représente le déterminant, et "I" est la matrice d'identité.
Calculer le vecteur propre pour chaque valeur propre en trouvant un Eigenspace E (L), qui est l'espace nul de l'équation caractéristique. Les vecteurs non-zéros de E (L) sont les vecteurs propres de A. On les trouve en replaçant les vecteurs propres dans la matrice caractéristique et en trouvant une base pour A - LI = 0.
Pratiquez les étapes 3 et 4 en étudier la matrice à gauche. Montré est une matrice carrée 2 x 2.
Calculer les valeurs propres à l'aide de l'équation caractéristique. Det (A - LI) est (3 - L) (3 - L) - 1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, qui est le polynôme caractéristique. La résolution algébrique nous donne L1 = 4 et L2 = 2, qui sont les valeurs propres de notre matrice.
Trouver le vecteur propre pour L = 4 en calculant l'espace nul. Pour ce faire, placer L1 = 4 dans la matrice caractéristique et trouver la base de A - 4I = 0. En résolvant ceci, on trouve x - y = 0, ou x = y. Cela n'a qu'une seule solution indépendante puisqu'elles sont égales, comme x = y = 1. Par conséquent, v1 = (1,1) est un vecteur propre qui couvre l'espace propre de L1 = 4.
Répétez l'étape 6 pour trouve le vecteur propre pour L2 = 2. Nous trouvons x + y = 0, ou x = - y. Cela a aussi une solution indépendante, disons x = - 1 et y = 1. Donc v2 = (--1,1) est un vecteur propre qui couvre l'espace propre de L2 = 2.
