L'équation d'un plan dans un espace tridimensionnel peut être écrite en notation algébrique comme ax + by + cz = d, où au moins l'une des constantes du nombre réel "a", "b" et "c" ne doit pas être nul, et "x", "y" et "z" représentent les axes du plan tridimensionnel. Si trois points sont donnés, vous pouvez déterminer le plan en utilisant des produits vectoriels croisés. Un vecteur est une ligne dans l'espace. Un produit croisé est la multiplication de deux vecteurs.

Obtenez les trois points sur le plan. Marquez-les "A", "B" et "C" Par exemple, supposons que ces points sont A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); et C = (1, 3, 4).

Trouver deux vecteurs différents sur le plan. Dans l'exemple, choisissez les vecteurs AB et AC. Le vecteur AB va du point A au point B, et le vecteur AC va du point A au point C. Donc, soustrayez chaque coordonnée au point A de chaque coordonnée au point B pour obtenir le vecteur AB: (-2, 3, 1). De même, le vecteur AC est point-C moins le point A, ou (-2, 2, 3).

Calculer le produit croisé des deux vecteurs pour obtenir un nouveau vecteur, qui est normal (ou perpendiculaire ou orthogonal) à chacun des deux vecteurs et également au plan. Le produit croisé de deux vecteurs, (a1, a2, a3) et (b1, b2, b3), est donné par N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). Dans l'exemple, le produit croisé, N, de AB et AC est i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], ce qui simplifie à N = 7i + 4j + 2k. Notez que "i", "j" et "k" sont utilisés pour représenter les coordonnées vectorielles.

Dérivez l'équation du plan. L'équation du plan est Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, où (a1, a2, a3) est n'importe quel point dans le plan et (Ni, Nj, Nk ) est le vecteur normal, N. Dans l'exemple, en utilisant le point C, qui est (1, 3, 4), l'équation du plan est 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, ce qui simplifie à 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, ou 7x + 4y + 2z = 27.

Vérifiez votre réponse. Remplacez les points d'origine pour voir s'ils satisfont à l'équation de l'avion. Pour conclure l'exemple, si vous substituez l'un des trois points, vous verrez que l'équation du plan est effectivement satisfaite.

Astuce

Voir Ressources pour des conseils sur l'utilisation des systèmes de trois équations simultanées pour trouver l'équation d'un plan.