Une série de Taylor est une méthode numérique de représentation d'une fonction donnée. Cette méthode a une application dans de nombreux domaines de l'ingénierie. Dans certains cas, comme le transfert de chaleur, l'analyse différentielle donne une équation qui correspond à la forme d'une série de Taylor. Une série de Taylor peut aussi représenter une intégrale si l'intégrale de cette fonction n'existe pas analytiquement. Ces représentations ne sont pas des valeurs exactes, mais le calcul de plusieurs termes dans la série rendra l'approximation plus précise.
Choisissez un centre pour la série Taylor. Ce nombre est arbitraire, mais c'est une bonne idée de choisir un centre où il y a une symétrie dans la fonction ou où la valeur du centre simplifie les mathématiques du problème. Si vous calculez la représentation en série de Taylor de f (x) = sin (x), un bon centre à utiliser est a = 0.
Déterminez le nombre de termes que vous souhaitez calculer. Plus vous utilisez de termes, plus votre représentation sera précise, mais comme une série de Taylor est une série infinie, il est impossible d'inclure tous les termes possibles. L'exemple sin (x) utilisera six termes.
Calcule les dérivées dont vous aurez besoin pour la série. Pour cet exemple, vous devez calculer toutes les dérivées jusqu'à la sixième dérivée. Puisque la série Taylor commence à "n = 0", vous devez inclure la dérivée "0th", qui est juste la fonction d'origine. 0ème dérivé = sin (x) 1er = cos (x) 2ème = -sin (x) 3ème = -cos (x) 4ème = sin (x) 5ème = cos (x) 6ème = -sin (x)
Calculez la valeur de chaque dérivée au centre que vous avez choisi. Ces valeurs seront les numérateurs pour les six premiers termes de la série Taylor. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Utilisez les calculs de dérivation et le centre pour déterminer les termes de la série Taylor. 1er terme n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 2ème terme; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x /1! 3ème trimestre n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4ème terme; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5ème terme; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! 6ème terme; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Série de Taylor pour le péché (x): sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ...
Dépose les termes à zéro dans la série et simplifie algébriquement l'expression pour déterminer la représentation simplifiée de la fonction. Ce sera une série complètement différente, donc les valeurs de "n" utilisées précédemment ne s'appliquent plus. sin (x) = 0 + x /1! + 0 - (x ^ 3) /3! + 0 + (x ^ 5) /5! + ... sin (x) = x /1! - (x ^ 3) /3! + (x ^ 5) /5! - ... Puisque les signes alternent entre positif et négatif, la première composante de l'équation simplifiée doit être (-1) ^ n, puisqu'il n'y a pas de nombres pairs dans la série. Le terme (-1) ^ n donne un signe négatif quand n est impair et un signe positif quand n est pair. La représentation en série des nombres impairs est (2n + 1). Lorsque n = 0, ce terme est égal à 1; quand n = 1, ce terme est égal à 3 et ainsi de suite à l'infini. Dans cet exemple, utilisez cette représentation pour les exposants de x et les factorielles dans le dénominateur
Utilisez la représentation de la fonction à la place de la fonction d'origine. Pour des équations plus avancées et plus difficiles, une série de Taylor peut résoudre une équation insoluble, ou au moins donner une solution numérique raisonnable.
