Par Lisa Maloney
12 mars 2023 à 01h49 HNE

Igor Koutiaev/iStock/GettyImages

La croissance exponentielle apparaît souvent dans le langage courant, mais ses fondements mathématiques sont précis et essentiels pour de nombreux scénarios du monde réel. Qu’il s’agisse de suivre la prolifération bactérienne, d’évaluer les intérêts composés ou de modéliser la dynamique des populations, la même formule de base s’applique. Pour résoudre la croissance exponentielle, vous aurez besoin de la valeur de départ, du taux de croissance ou de décroissance et du temps écoulé.

La formule de croissance exponentielle

La représentation la plus courante est :

f(t) = a × ekt

où a est la valeur initiale, k est la constante de croissance (ou de décroissance) continue, t est le temps, et f(t) est la valeur au temps t . Le numéro d'Euler (e ≈ 2,71828) est la base des logarithmes naturels et le fondement du changement exponentiel continu.

Alternativement, le formulaire d'intérêt composé est souvent utilisé :

f(t) = a(1+r)t

Ici, r représente un taux de croissance discret (par exemple, les intérêts annuels) et l'exposant suit toujours les périodes écoulées.

Dérivation du taux de croissance à partir des données observées

Considérons un microbiologiste mesurant une nouvelle espèce bactérienne. Il commence avec 50 cellules et, cinq heures plus tard, enregistre 550 cellules.

Intégrer ces nombres dans le modèle continu :

550 = 50 × ek×5

Divisez les deux côtés par 50 pour isoler le terme exponentiel :

11 = e5k

Prenez le logarithme népérien de chaque côté :

ln(11) = 5k

Enfin, résolvez pour k :

k = ln(11) / 5 ≈ 0.48 · hr-1

Ce taux vous indique la rapidité avec laquelle la population augmente. Pour projeter la taille après 10 heures, insérez simplement t =10 dans la formule en utilisant le k dérivé valeur.

Lorsque le taux est inférieur à un

Un taux k en dessous de zéro indique une décroissance exponentielle :chaque période produit moins d’individus. En finance, ce scénario représente souvent une croissance négative ou une accumulation de dettes. Les mêmes équations s'appliquent ; le signe de k détermine si la tendance est à la croissance ou à la décroissance.

Applications réelles de la croissance exponentielle

• Intérêts composés : Les comptes d'épargne, les prêts hypothécaires et les rendements des investissements augmentent de façon exponentielle au fil du temps.
• Désintégration radioactive : Les calculs de demi-vie s'appuient sur la décroissance exponentielle pour prédire le moment où la moitié d'un échantillon se sera transformée.
• Temps de doublement : En biologie comme en finance, le temps de doublement indique le temps qu'il faut pour qu'une quantité double à un taux de croissance constant.

Pour calculer la demi-vie ou le temps de doublement, définissez le résultat de la formule sur la moitié ou le double de la valeur de départ et calculez le temps.