Imaginez que vous vous tenez au milieu d'une arène parfaitement circulaire. Vous regardez vers la foule le long des côtés de l'arène, et vous apercevez votre meilleur ami sur un siège et votre professeur de mathématiques du collège quelques sections plus loin. Quelle est la distance entre eux et vous? Quelle distance devez-vous parcourir pour vous rendre du siège de votre ami au siège de votre professeur? Quelles sont les mesures des angles entre vous? Ce sont toutes des questions liées aux angles centraux.

Un angle central est l'angle qui se forme lorsque deux rayons sont tirés du centre du cercle vers ses bords. Dans cet exemple, les deux rayons sont vos deux lignes de vue depuis vous, au centre de l'arène, vers votre ami, et votre ligne de vue vers votre professeur. L'angle qui se forme entre ces deux lignes est l'angle central. C'est l'angle le plus proche du centre du cercle.

Votre ami et votre professeur sont assis le long de la circonférence ou des bords du cercle. Le chemin le long de l'arène qui les relie est un arc.
Trouver l'angle central à partir de la longueur et de la circonférence de l'arc

Il existe quelques équations que vous pouvez utiliser pour trouver l'angle central. Parfois, vous obtiendrez la longueur de l'arc, la distance le long de la circonférence entre deux points. (Dans l'exemple, il s'agit de la distance à parcourir autour de l'arène pour aller de votre ami à votre professeur.) La relation entre l'angle central et la longueur de l'arc est:

(longueur de l'arc) ÷ circonférence \u003d (angle central) ÷ 360 °

L'angle central sera en degrés.

Cette formule a du sens, si vous y réfléchissez. La longueur de l'arc sur la longueur totale autour du cercle (circonférence) est la même proportion que l'angle de l'arc sur l'angle total dans un cercle (360 degrés).

Pour utiliser cette équation efficacement, vous besoin de connaître la circonférence du cercle. Mais vous pouvez également utiliser cette formule pour trouver la longueur de l'arc si vous connaissez l'angle central et la circonférence. Ou, si vous avez la longueur de l'arc et l'angle central, vous pouvez trouver la circonférence!
Trouver l'angle central à partir de la longueur et du rayon de l'arc

Vous pouvez également utiliser le rayon du cercle et l'arc longueur pour trouver l'angle central. Appelez la mesure de l'angle central θ. Alors:

θ \u003d s ÷ r, où s est la longueur de l'arc et r est le rayon. θ est mesuré en radians.

Encore une fois, vous pouvez réorganiser cette équation en fonction des informations dont vous disposez. Vous pouvez trouver la longueur de l'arc à partir du rayon et de l'angle central. Ou vous pouvez trouver le rayon si vous avez l'angle central et la longueur de l'arc.

Si vous voulez la longueur de l'arc, l'équation ressemble à ceci:

s \u003d θ * r, où s est la longueur de l'arc, r est le rayon et θ est l'angle central en radians.
Le théorème de l'angle central

Ajoutons une touche à votre exemple où vous êtes dans l'arène avec votre voisin et votre professeur. Maintenant, il y a une troisième personne que vous connaissez dans l'arène: votre voisin. Et encore une chose: ils sont derrière vous. Vous devez vous retourner pour les voir.

Votre voisin se trouve à peu près en face de votre ami et de votre professeur. Du point de vue de votre voisin, il y a un angle formé par leur ligne de vue vers l'ami et leur ligne de vue vers l'enseignant. C'est ce qu'on appelle un angle inscrit. Un angle inscrit est un angle formé de trois points le long de la circonférence d'un cercle.

Le théorème de l'angle central explique la relation entre la taille de l'angle central, formé par vous, et l'angle inscrit, formé par votre voisin. Le théorème de l'angle central indique que l'angle central est le double de l'angle inscrit. (Cela suppose que vous utilisez les mêmes points de terminaison. Vous regardez tous les deux l'enseignant et l'ami, et personne d'autre).

Voici une autre façon de l'écrire. Appelons le siège A de votre ami, le siège B de votre professeur et le siège C. de votre voisin. Vous, au centre, pouvez être O.

Donc, pour trois points A, B et C le long de la circonférence d'un cercle et point O au centre, l'angle central ∠AOC est le double de l'angle inscrit ∠ABC.

Autrement dit, ,AOC \u003d 2∠ABC.

Cela a du sens. Vous êtes plus proche de l'ami et du professeur, donc pour vous, ils regardent plus loin (un angle plus grand). À votre voisin de l'autre côté du stade, ils se rapprochent beaucoup plus (un angle plus petit).
Exception au théorème de l'angle central

Maintenant, déplaçons les choses. Votre voisin de l'autre côté de l'arène commence à se déplacer! Ils ont toujours une ligne de vue vers l'ami et l'enseignant, mais les lignes et les angles changent au fur et à mesure que le voisin se déplace. Devinez quoi: Tant que le voisin reste en dehors de l'arc entre l'ami et le voisin, le théorème de l'angle central reste vrai!

Mais que se passe-t-il lorsque le voisin se déplace entre
l'ami et l'enseignant? Maintenant, votre voisin est à l'intérieur de l'arc mineur, la distance relativement petite entre l'ami et l'enseignant par rapport à la plus grande distance autour du reste de l'arène. Ensuite, vous atteignez une exception au théorème de l'angle central.

L'exception au théorème de l'angle central indique que lorsque le point C, le voisin, est à l'intérieur de l'arc mineur, l'angle inscrit est le supplément de la moitié de l'angle central . (N'oubliez pas qu'un angle et son supplément s'ajoutent à 180 degrés.)

Donc: angle inscrit \u003d 180 - (angle central ÷ 2)

Ou: ∠ABC \u003d 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualize

Math Open Reference a un outil pour visualiser le théorème de l'angle central et son exception. Vous pouvez faire glisser le "voisin" vers toutes les différentes parties du cercle et regarder les angles changer. Essayez-le si vous voulez une pratique visuelle ou supplémentaire!