"Sinus" est un raccourci mathématique pour le rapport des deux côtés d'un triangle rectangle, exprimé en fraction: le côté opposé à l'angle que vous mesurez est le numérateur de la fraction et l'hypoténuse du triangle rectangle est le dénominateur. Une fois que vous maîtrisez ce concept, il devient un bloc de construction pour une formule connue sous le nom de loi des sinus, qui peut être utilisée pour trouver les angles et les côtés manquants pour un triangle tant que vous connaissez au moins deux de ses angles et un côté, ou deux côtés et un angle.
Récapitulation de la loi des sinus

La loi des sinus vous dit que le rapport d'un angle dans un triangle au côté opposé sera le même pour les trois angles d'un triangle . Ou, pour le dire autrement:

sin (A) / a
\u003d sin (B) / b
\u003d sin (C) / c,
où A, B et C sont les angles du triangle, et a, b
et c
sont les longueurs des côtés opposés à ces angles.

Ce formulaire est le plus utile pour trouver les angles manquants. Si vous utilisez la loi des sinus pour trouver la longueur manquante d'un côté du triangle, vous pouvez également l'écrire avec les sinus au dénominateur:

a
/sin (A ) \u003d b
/sin (B) \u003d c
/sin (C)
Trouver un angle manquant avec la loi des sinus

Imaginez que vous avez un triangle avec un angle connu - disons que l'angle A mesure 30 degrés. Vous connaissez également la mesure de deux côtés du triangle: le côté a
, qui est l'angle opposé A, mesure 4 unités, et le côté b
mesure 6 unités.

1. Remplissez les informations connues
   
   

   Saisissez toutes les informations connues dans la première forme de la loi des sinus, ce qui est préférable pour trouver les angles manquants:
   

   sin (30) /4 \u003d sin (B) /6 \u003d sin (C) / c
   
   

   Ensuite, choisissez une cible; dans ce cas, trouvez la mesure de l'angle B.
   

2. Configuration du problème
   
   

   La configuration du problème est aussi simple que la définition des première et deuxième expressions de cette équation égales à chacune autre. Pas besoin de vous soucier du troisième mandat pour le moment. Donc, vous avez:
   

   sin (30) /4 \u003d sin (B) /6
   

3. Trouvez la valeur de sinus connue
   
   

   Utilisez une calculatrice ou un graphique pour trouver le sinus de l'angle connu. Dans ce cas, sin (30) \u003d 0,5, vous avez donc:
   

   (0,5) /4 \u003d sin (B) /6, ce qui se simplifie en:
   

   0,125 \u003d sin (B) /6
   

4. Isoler l'angle inconnu
   
   

   Multipliez chaque côté de l'équation par 6 pour isoler la mesure du sinus de l'angle inconnu. Cela vous donne:
   

   0,75 \u003d sin (B)
   

5. Recherchez l'angle inconnu
   
   

   Trouvez le sinus inverse ou l'arc sinus de l'angle inconnu, en utilisant votre calculatrice ou une table. Dans ce cas, le sinus inverse de 0,75 est d'environ 48,6 degrés.
   
   
   

   Avertissements
   

6. Attention au cas ambigu de la loi des sinus, qui peut survenir si vous êtes, comme dans ce problème, compte tenu de la longueur des deux côtés et d'un angle qui n'est pas entre eux. Le cas ambigu est simplement un avertissement que dans cet ensemble spécifique de circonstances, il pourrait y avoir deux réponses possibles parmi lesquelles choisir. Vous avez déjà trouvé une réponse possible. Pour analyser une autre réponse possible, soustrayez l'angle que vous venez de trouver de 180 degrés. Ajoutez le résultat au premier angle connu que vous aviez. Si le résultat est inférieur à 180 degrés, ce "résultat" que vous venez d'ajouter au premier angle connu est une deuxième solution possible.
   
   
   
   Trouver un côté avec la loi des sinus
   

   Imaginez que vous avez un triangle avec des angles connus de 15 et 30 degrés (appelons-les respectivement A et B), et la longueur du côté un
   , qui est l'angle opposé A, est de 3 unités de long .
   

   1. Calcul de l'angle manquant
      
      

      Comme mentionné précédemment, les trois angles d'un triangle s'additionnent toujours à 180 degrés. Donc, si vous connaissez déjà deux angles, vous pouvez trouver la mesure du troisième angle en soustrayant les angles connus de 180:
      

      180 - 15 - 30 \u003d 135 degrés
      

      Donc l'angle manquant est 135 degrés.
      

   2. Remplissez les informations connues
      
      

      Remplissez les informations que vous connaissez déjà dans la formule de la loi des sinus, en utilisant le deuxième formulaire (ce qui est plus facile lors du calcul d'un côté manquant):
      

      3 /sin (15) \u003d b
      /sin (30) \u003d c
      /sin (135)
      

   3. Choisissez une cible
      
      

      Choisissez le côté manquant dont vous souhaitez trouver la longueur. Dans ce cas, pour des raisons de commodité, trouvez la longueur du côté b.
      
      

   4. Réglez le problème
      
      

      Pour régler le problème, vous ' ll choisir deux des relations sinusoïdales données dans la loi des sinus: celle contenant votre cible (côté b
      ) et celle pour laquelle vous connaissez déjà toutes les informations (c'est le côté a
      et angle A). Définissez ces deux relations sinusoïdes égales l'une à l'autre:
      

      3 /sin (15) \u003d b
      /sin (30)
      

   5. Résoudre pour la cible
      
      

      Résoudre maintenant pour b
      . Commencez par utiliser votre calculatrice ou un tableau pour trouver les valeurs de sin (15) et sin (30) et remplissez-les dans votre équation (pour cet exemple, utilisez la fraction 1/2 au lieu de 0,5), ce qui vous donne :
      

      3 /0.2588 \u003d b
      /(1/2)
      

      Notez que votre professeur vous dira dans quelle mesure (et si) arrondir vos valeurs de sinus. Ils pourraient également vous demander d'utiliser la valeur exacte de la fonction sinus, qui dans le cas de sin (15) est très désordonnée (√6 - √2) /4.
      

      Ensuite, simplifiez les deux côtés de l'équation, en se souvenant que la division par une fraction équivaut à la multiplication par son inverse:
      

      11.5920 \u003d 2_b_
      

      Changez de côté de l'équation pour des raisons de commodité, car les variables sont généralement répertoriées à gauche:
      

      2_b_ \u003d 11.5920
      

      Et enfin, finissez de résoudre pour b.
      Dans ce cas, tout ce que vous avez à faire est de diviser les deux côtés de l'équation par 2, ce qui vous donne:
      

      b
      \u003d 5.7960
      

      Donc, le côté manquant de votre triangle mesure 5,7960 unités. Vous pouvez tout aussi bien utiliser la même procédure pour résoudre pour le côté c
      , en définissant son terme dans la loi des sinus égal au terme pour le côté a
      , puisque vous savez déjà que ce côté est plein informations.